Bài 3.29 trang 153 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

Tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) AH, SK và BC đồng quy.

b) SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và (left( {SAC} ight) ot left( {BHK} ight))

c) HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và (left( {SBC} ight) ot left( {BHK} ight))

Giải:

a) Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta cần chứng minh ba điểm S, K, A’ thẳng hàng.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên (AA' ot BC). Mặt khác theo giả thiết ta có: (SA ot left( {ABC} ight)), do đó (SA ot BC). Từ đó ta suy ra (BC ot left( {SAA'} ight)) và (BC ot SA'). Vậy SA’ là đường cao của tam giác SBC nên SA’ là phải đi qua trực tâm K. Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy.

b) Vì K là trực tâm của tam giác SBC nên (BK ot SC,,,,,,,,left( 1 ight))

Mặt khác ta có (BH ot AC) vì H là trực tâm của tam giác ABC và (BH ot SA) vì (SA ot left( {ABC} ight)).

Do đó (BH ot left( {ABC} ight)) nên (BH ot SC,,,,,,,,,,left( 2 ight)).

Từ (1) và (2) ta suy ra (SC ot left( {BHK} ight)). Vì mặt phẳng (SAC) chứa SC mà (SC ot left( {BHK} ight)) nên ta có (left( {SAC} ight) ot left( {BHK} ight)).

c) Ta có

(left. matrix{
BC ot left( {SAA'} ight),BC ot HK hfill cr
SC ot left( {BHK} ight),SC ot HK hfill cr} ight} Rightarrow HK ot left( {SBC} ight))

Mặt phẳng (BHK) chứa HK mà (HK ot left( {SBC} ight)) nên (left( {BHK} ight) ot left( {SBC} ight)).

Sachbaitap.com