Bài 3.36 trang 162 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với (SA = asqrt 6 ).

a) Tính khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).

b) Tính khoảng cách từ  đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).

Giải:

a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: (A{ m{D}}parallel BC) và (AB = BC = C{ m{D}} = a), đồng thời (AC ot C{ m{D}},AB ot B{ m{D}},AC = B{ m{D}} = asqrt 3 ).

Như vậy

(left. matrix{
C{ m{D}} ot AC hfill cr
C{ m{D}} ot SA hfill cr} ight} Rightarrow C{ m{D}} ot left( {SAC} ight))

Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)

Vậy AH = d(A,(SCD))

Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:

(eqalign{
& {1 over {A{H^2}}} = {1 over {S{A^2}}} + {1 over {A{C^2}}} cr
& = {1 over {{{left( {asqrt 6 } ight)}^2}}} + {1 over {{{left( {asqrt 3 } ight)}^2}}} = {1 over {2{{ m{a}}^2}}} cr} )

Vậy (A{H^2} = 2{{ m{a}}^2} Rightarrow AH = asqrt 2 )

Gọi I là trung điểm của AD ta có (BIparallel C{ m{D}}) nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra (dleft( {B,left( {SC{ m{D}}} ight)} ight) = dleft( {I,left( {SC{ m{D}}} ight)} ight)).

Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên

(dleft( {I,left( {SC{ m{D}}} ight)} ight) = {1 over 2}dleft( {A,left( {SC{ m{D}}} ight)} ight) = {1 over 2}.asqrt 2  = {{asqrt 2 } over 2})

Do đó: (dleft( {B,left( {SC{ m{D}}} ight)} ight) = {{asqrt 2 } over 2})

b) Vì (ADparallel BC) nên (ADparallel left( {SBC} ight)), do đó (dleft( {AD,left( {SBC} ight)} ight) = dleft( {A,left( {SBC} ight)} ight))

Dựng (AD ot BC) tại (E Rightarrow BC ot left( {SA{ m{E}}} ight))

Dựng (AD ot SE) tại F ta có:

(left. matrix{
AF ot SE hfill cr
AF ot BC,left( {vì,BC ot left( {SAE} ight)} ight) hfill cr} ight} Rightarrow AF ot left( {SBC} ight))

Vậy (AF = dleft( {A,left( {SBC} ight)} ight) = dleft( {AD,left( {SBC} ight)} ight))

Xét tam giác vuông AEB ta có: (AE = ABsin widehat {ABE} = asin {60^0} = {{asqrt 3 } over 2})

Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:

({1 over {A{F^2}}} = {1 over {S{A^2}}} + {1 over {A{E^2}}} = {1 over {{{left( {asqrt 6 } ight)}^2}}} + {1 over {left( {{{asqrt 3 } over 2}} ight)}} = {9 over {6{a^2}}}) 

Do đó (A{F^2} = {{6{a^2}} over 9} Rightarrow AF = {{asqrt 6 } over 3})

Vậy (dleft( {AD,left( {SBC} ight)} ight) = AF = {{asqrt 6 } over 3})

Sachbaitap.com