Bài 3.4 trang 132 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên AA’,BB’,CC’ ta lấy tương ứng các điểm M, N, P sao cho (AM + BN + CP = a)

Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Giải:

Gọi G và  G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:

(eqalign{
& ,,,,overrightarrow {GG'} = overrightarrow {GA} + overrightarrow {AM} + overrightarrow {MG'} cr
& + ,,overrightarrow {GG'} = overrightarrow {GB} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {NG'} cr
& ,,,,,overrightarrow {GG'} = overrightarrow {GC} + overrightarrow {CP} + overrightarrow {PG'} cr} )

Cộng từng vế với vế ta có:

(3overrightarrow {GG'}  = left( {overrightarrow {GA}  + overrightarrow {GB}  + overrightarrow {GC} } ight) + left( {overrightarrow {AM}  + overrightarrow {BN}  + overrightarrow {CP} } ight) + left( {overrightarrow {MG'}  + overrightarrow {NG'}  + overrightarrow {PG'} } ight))

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên (overrightarrow {GA}  + overrightarrow {GB}  + overrightarrow {GC}  = overrightarrow 0 ) và G’ là trọng tâm của tam giác MNP nên (overrightarrow {MG'}  + overrightarrow {NG'}  + overrightarrow {PG'}  = overrightarrow 0 ).

Do đó: (3overrightarrow {GG'}  = overrightarrow {AM}  + overrightarrow {BN}  + overrightarrow {CP} )

Hay (overrightarrow {GG'}  = {1 over 3}left( {overrightarrow {AM}  + overrightarrow {BN}  + overrightarrow {CP} } ight) = {1 over 3}overrightarrow {AA'} )

Vì điểm G cố định và ({1 over 3}overrightarrow {AA'} ) là vectơ không đổi nên G’ là điểm cố định. Vậy mặt phẳng  (MNP) luôn luôn đi qua điểm G’ cố định.

Sachbaitap.com