Bài 3.9 trang 140 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ . Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ . Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Giải:

Ta cần chứng minh (overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}}  = 0)

Đặt (overrightarrow {AB}  = overrightarrow b ,,,overrightarrow {AC}  = overrightarrow c ,,,overrightarrow {AD}  = overrightarrow d ). Ta có:

(overrightarrow {MN}  = overrightarrow {MA}  + overrightarrow {AN}  =  - {1 over 2}overrightarrow {AC}  + {1 over 2}left( {overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AD} } ight))

Suy ra (overrightarrow {MN}  = {1 over 2}left( {overrightarrow b  + overrightarrow d  - overrightarrow c } ight))

(eqalign{
& overrightarrow {QP} = overrightarrow {QA} + overrightarrow {AP} cr
& = - {1 over 2}overrightarrow {A{ m{D}}} + {1 over 2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } ight) cr
& = {1 over 2}left( {overrightarrow b + overrightarrow c - overrightarrow d } ight) cr} )

Theo giả thiết ta có:

(MN = PQ Leftrightarrow {overrightarrow {MN} ^2} = {overrightarrow {QP} ^2})

(eqalign{
& {left( {overrightarrow b + overrightarrow d - overrightarrow c } ight)^2} = {left( {overrightarrow b + overrightarrow c - overrightarrow d } ight)^2} cr
& Leftrightarrow overrightarrow b .overrightarrow d - overrightarrow b .overrightarrow c = overrightarrow b .overrightarrow c - overrightarrow b .overrightarrow d cr
& Leftrightarrow 2overrightarrow b .overrightarrow d - 2overrightarrow b .overrightarrow c = 0 cr
& Leftrightarrow overrightarrow b .left( {overrightarrow d - overrightarrow c } ight) = 0 cr
& Leftrightarrow overrightarrow {AB} .left( {overrightarrow {A{ m{D}}} - overrightarrow {AC} } ight) = 0 cr
& Leftrightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}} = 0 Leftrightarrow overrightarrow {AB} ot overrightarrow {C{ m{D}}} cr} )

Sachbaitap.com