Bài 3.3 trang 131 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho ...
Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho
Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho
({{AM} over {AC}} = {{BN} over {B{ m{D}}}} = kleft( {k > 0} ight))
Chứng minh rằng ba vectơ (overrightarrow {PQ} ,overrightarrow {PM} ,overrightarrow {PN} ) đồng phẳng.
Giải:
Ta có:
(eqalign{
& overrightarrow {PQ} = {1 over 2}left( {overrightarrow {PC} + overrightarrow {P{
m{D}}} }
ight) cr
& = {1 over 2}left[ {left( {overrightarrow {AC} - overrightarrow {AP} }
ight) + left( {overrightarrow {B{
m{D}}} - overrightarrow {BP} }
ight)}
ight] cr
& = {1 over 2}left[ {left( {overrightarrow {AC} + overrightarrow {B{
m{D}}} }
ight) - underbrace {left( {overrightarrow {AP} + overrightarrow {BP} }
ight)}_{overrightarrow 0 }}
ight] cr
& = {1 over 2}.{1 over k}left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {BN} }
ight) cr} )
Vì (overrightarrow {AC} = {1 over k}.overrightarrow {AM} ) và (overrightarrow {B{ m{D}}} = {1 over k}.overrightarrow {BN} )
Đồng thời (overrightarrow {AM} = overrightarrow {AP} + overrightarrow {PM} ) và (overrightarrow {BN} = overrightarrow {BP} + overrightarrow {PN} ), nên (overrightarrow {PQ} = {1 over {2k}}left( {overrightarrow {PM} + overrightarrow {PN} } ight)) vì (overrightarrow {AP} + overrightarrow {BP} = overrightarrow 0 )
Vậy (overrightarrow {PQ} = {1 over {2k}}overrightarrow {PM} + {1 over {2k}}overrightarrow {PN} )
Do đó ba vectơ (overrightarrow {PQ} ,overrightarrow {PM} ,overrightarrow {PN} ) đồng phẳng.
Sachbaitap.com
