Bài 3.37 trang 160 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho ba điểm...

Cho ba điểm A(2;1), B(0;5), C(-1;-10).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Chứng minh I, G, H thẳng hàng.                                                                                                           

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

a) + Trọng tâm (Gleft( { – 1; – {4 over 3}} ight))

+ Tọa độ trực tâm H(x;y)

(eqalign{
& overrightarrow {AH} (x – 2;y – 1) cr
& Rightarrow overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = (x – 2).( – 5) + (y – 1).( – 15) cr} )

(eqalign{
& overrightarrow {BH} = (x;y – 5) cr
& Rightarrow overrightarrow {BH} .overrightarrow {CA} = x.( – 7) + (y – 5).( – 11) cr} )

Do  là trực tâm 

(eqalign{
& Leftrightarrow left{ matrix{
overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = 0 hfill cr
overrightarrow {BH} .overrightarrow {CA} = 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
(x – 2).( – 5) + (y – 1).( – 15) = 0 hfill cr
x.( – 7) + (y – 5).( – 11) = 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x = 11 hfill cr
y = – 2 hfill cr} ight. cr} )

+ Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I(x;y)

(AI_{}^2 = (x – 2)_{}^2 + (y – 1)_{}^2)

(BI_{}^2 = x_{}^2 + (y – 5)_{}^2)

(CI_{}^2 = (x + 5)_{}^2 + (y + 10)_{}^2)

Ta có:

(eqalign{
& AI_{}^2 = BI_{}^2 = CI_{}^2 Leftrightarrow left{ matrix{
AI_{}^2 = BI_{}^2 hfill cr
BI_{}^2 = CI_{}^2 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
(x – 2)_{}^2 + (y – 1)_{}^2 = x_{}^2 + (y – 5)_{}^2 hfill cr
x_{}^2 + (y – 5)_{}^2 = (x + 5)_{}^2 + (y + 10)_{}^2 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x = – 7 hfill cr
y = – 1 hfill cr} ight. cr} )

b) Ta có: (overrightarrow {IH} (18; – 1)), (overrightarrow {IG} left( {6; – {1 over 3}} ight))

( Rightarrow overrightarrow {IH}  = 3overrightarrow {IG} ) suy ra I,G,H thẳng hàng.

c) Ta có: 

(R = IA = sqrt {( – 7 – 2)_{}^2 + ( – 1 – 1)_{}^2}  = sqrt {85} )

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: ((x + 7)_{}^2 + (y + 1)_{}^2 = 85)