Bài 3.45 trang 161 SBT Toán Hình học 10: Cho elip (E)...

Cho elip (E): ({x^2} + 4{y^2} = 16).

a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).

b) Viết phương trình đường thẳng (Delta ) đi qua điểm (Mleft( {1;{1 over 2}} ight)) và vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = (1;2))

c) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng (Delta ) và elip (E). Chứng minh MA = MB.

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& (E):{x^2} + 4{y^2} = 16 cr
& Leftrightarrow {{{x^2}} over {16}} + {{{y^2}} over 4} = 1. cr} )

Ta có:

(eqalign{
& {a^2} = 16,{b^2} = 4 cr
& Rightarrow {c^2} = {a^2} – {b^2} = 12 cr} )

( Rightarrow c = 2sqrt 3 .)

Vậy (E) có hai tiêu điểm: ({F_1}left( { – 2sqrt 3 ;0} ight)) và ({F_2}left( {2sqrt 3 ;0} ight))

và các đỉnh ({A_1}left( { – 4;0} ight)), ({A_2}left( {4;0} ight)), ({B_1}left( {0; – 2} ight)), ({B_2}left( {0;2} ight))

b) Phương trình (Delta )  có dạng : 

(1.(x – 1) + 2.(y – {1 over 2}) = 0)

hay (x + 2y – 2 = 0)

c) Tọa độ của giao điểm của (Delta ) và (E) là nghiệm của hệ : 

(left{ matrix{
{x^2} + 4{y^2} = 16,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1) hfill cr
x = 2 – 2y.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2) hfill cr} ight.)

Thay (2) vào (1) ta được : 

({left( {2 – y} ight)^2} + 4{y^2} = 16)

( Leftrightarrow {(1 – y)^2} + {y^2} = 4)

( Leftrightarrow 2{y^2} – 2y – 3 = 0.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3))

Phương trình (3) có hai nghiệm ({y_A}), ({y_B}) thỏa mãn

({{{y_A} + {y_B}} over 2} = {2 over 4} = {1 over 2} = {y_M}.)

 Vậy MA = MB.

Ta có: ({y_A} = {{1 – sqrt 7 } over 2}), ({y_B} = {{1 + sqrt 7 } over 2})

({x_A} = 1 + sqrt 7 ), ({x_B} = 1 – sqrt 7 )

Vậy A có tọa độ là (left( {1 + sqrt 7 ;{{1 – sqrt 7 } over 2}} ight)), B có tọa độ là (left( {1 – sqrt 7 ;{{1 + sqrt 7 } over 2}} ight).)