Bài 3.34 trang 160 Sách bài tập Toán Hình Học 10: Cho elip (E)...

Cho elip (E) : (9{x^2} + 25{y^2} = 225)

a) Tìm tọa độ hai điểm ({F_1}), ({F_2}) và các đỉnh của (E).

b) Tìm (M in (E)) sao cho M nhìn ({F_1}), ({F_2}) dưới một góc vuông.

Gợi ý làm bài

(E): (9{x^2} + 25{y^2} = 225 Leftrightarrow {{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1)

a) Ta có : ({a^2} = 25,{b^2} = 9)

(Rightarrow a = 5,b = 3)

Ta có : ({c^2} = {a^2} – {b^2} = 16)

( Rightarrow c = 4)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là : ({F_1}left( { – 4;0} ight)) và ({F_2}left( {4;0} ight)) và có bốn đỉnh là ({A_1}left( { – 5;0} ight)), ({A_2}left( {5;0} ight)), ({B_1}left( {0; – 3} ight)), ({B_2}left( {0;3} ight)).

b) Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, ta có : 

(left{ matrix{
M in (E) hfill cr
widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ circ } hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
M in (E) hfill cr
O{M^2} = {c^2} hfill cr} ight.left{ matrix{
9{x^2} + 25{y^2} = 225 hfill cr
{x^2} + {y^2} = 16 hfill cr} ight.)

(left{ matrix{
{x^2} = {{175} over {16}} hfill cr
{y^2} = {{81} over {16}} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = pm {{5sqrt 7 } over 4} hfill cr
y = pm {9 over 4}. hfill cr} ight.)

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài là : 

(left( {{{5sqrt 7 } over 4};{9 over 4}} ight)), (left( {{{5sqrt 7 } over 4}; – {9 over 4}} ight)), (left( { – {{5sqrt 7 } over 4};{9 over 4}} ight)), (left( { – {{5sqrt 7 } over 4}; – {9 over 4}} ight))