Bài 3.24 trang 152 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD ...
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có (AB ot C{ m{D}}) và (AC ot B{ m{D}}) thì (AD ot BC).
Giải:
Vẽ (AH ot left( {BC{ m{D}}} ight)) tại H, ta có (C{ m{D}} ot AH) và vì (C{ m{D}} ot AB) ta suy ra (C{ m{D}} ot BH). Tương tự vì ({ m{BD}} ot AC) ta suy ra ({ m{BD}} ot CH)
Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là (DH ot BC)
Vì (AH ot BC) nên ta suy ra (BC ot A{ m{D}})
Cách khác . Trước hết ta hãy chứng minh hệ thức:
(overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} + overrightarrow {{ m{AD}}} .overrightarrow {BC} = 0) với bốn điểm A, B, C, D bất kì.
Thực vậy , ta có:
(eqalign{
& overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{
m{D}}} = overrightarrow {AB} .left( {overrightarrow {{
m{AD}}} - overrightarrow {AC} }
ight) = overrightarrow {AB} .overrightarrow {{
m{AD}}} - overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} ,,,,,,,left( 1
ight) cr
& overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} = overrightarrow {AC} .left( {overrightarrow {AB} - overrightarrow {{
m{AD}}} }
ight) = overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} - overrightarrow {AC} .overrightarrow {{
m{AD}}} ,,,,,,left( 2
ight) cr
& overrightarrow {{
m{AD}}} .overrightarrow {BC} = overrightarrow {{
m{AD}}} .left( {overrightarrow {AC} - overrightarrow {AB} }
ight) = overrightarrow {{
m{AD}}} .overrightarrow {AC} - overrightarrow {{
m{AD}}} .overrightarrow {AB} ,,,,,,,left( 3
ight) cr} )
(left( 1 ight) + left( 2 ight) + left( 3 ight) Leftrightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} + overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0,,,,,,left( 4 ight))
Do đó nếu (AB ot CD) nghĩa là (overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}} = 0,,), (AC ot BD) nghĩa là (overrightarrow {AC} .overrightarrow {B{ m{D}}} = 0,,)
Từ hệ thức (4) ta suy ra (overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0,,), do đó (A{ m{D}} ot BC).
Sachbaitap.com
