Bài 3.17 trang 147 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Chứng minh rằng hai mặt phẳng cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Cho tam giác ABC. Gọi (left( alpha   ight)) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (left( eta   ight)) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (left( alpha   ight)) và (left( eta   ight)) cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Giải:

Hai mặt phẳng (left( alpha   ight)) và (left( eta   ight)) không thể trùng nhau vì nếu chúng trùng nhau thì từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với một mặt phẳng, điều đó là vô lí.

Mặt khác (left( alpha   ight)) và (left( eta   ight)) cũng không song song với nhau.

Vì nếu (left( alpha   ight)parallel left( eta   ight)), thì từ (CB ot left( eta   ight)) ta suy ra (CB ot left( alpha   ight))

Như vậy từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với (left( alpha   ight)), điều đó là vô lí.

Vậy (left( alpha   ight)) và (left( eta   ight)) là hai mặt phẳng không trùng nhau, không song song với nhau và chúng phải cắt nhau theo giao tuyến d, nghĩa là (d = left( alpha   ight) cap left( eta   ight))

(eqalign{
& left{ matrix{
d subset left( alpha ight) hfill cr
CA ot left( alpha ight) hfill cr} ight. Rightarrow CA ot d,,,,,,left( 1 ight) cr
& left{ matrix{
d subset left( eta ight) hfill cr
CB ot left( eta ight) hfill cr} ight. Rightarrow CB ot d,,,,,left( 2 ight) cr} )

Từ (1) và (2) suy ra (d ot left( {ABC} ight)).

Sachbaitap.com