Bài 3.12 trang 170 bài tập SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh phương trình...

Chứng minh phương trình 

({x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + {a_2}{x^{n – 2}} + … + {a_{n – 1}}x + {a_n} = 0) luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Giải:

Hàm số (fleft( x ight) = {x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + {a_2}{x^{n – 2}} + … + {a_{n – 1}}x + {a_n}) xác định trên R

– Ta có

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + {a_2}{x^{n – 2}} + … + {a_{n – 1}}x + {a_n}} ight) cr
& { m{ = }}mathop {lim }limits_{x o + infty } {x^n}left( {1 + {{{a_1}} over x} + {{{a_2}} over {{x^2}}} + … + {{{a_{n – 1}}} over {{x^{n – 1}}}} + {{{a_n}} over {{x^n}}}} ight) = + infty cr} )

Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } fleft( x ight) =  + infty ) nên với dãy số (left( {{x_n}} ight)) bất kì mà ({x_n} o  + infty ) ta luôn có (lim fleft( {{x_n}} ight) =  + infty )

Do đó, (fleft( {{x_n}} ight)) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì (fleft( {{x_n}} ight) > 1) kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho (fleft( a ight) > 1)              (1)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o – infty } fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o – infty } left( {{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + {a_2}{x^{n – 2}} + … + {a_{n – 1}}x + {a_n}} ight) cr
& { m{ = }}mathop {lim }limits_{x o – infty } {x^n}left( {1 + {{{a_1}} over x} + {{{a_2}} over {{x^2}}} + … + {{{a_{n – 1}}} over {{x^{n – 1}}}} + {{{a_n}} over {{x^n}}}} ight) = – infty cr} ) (do n lẻ).

Vì (mathop {lim }limits_{x o  – infty } fleft( x ight) =  – infty) nên với dãy số (left( {{x_n}} ight)) bất kì mà ({x_n} o  – infty ) ta luôn có (lim fleft( {{x_n}} ight) =  – infty ) hay (lim left[ { – fleft( {{x_n}} ight)} ight] =  + infty )

Do đó, ( – fleft( {{x_n}} ight)) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì ( – fleft( {{x_n}} ight) > 1) kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho ( – fleft( b ight) > 1) hay (fleft( b ight) <  – 1)               (2)

– Từ (1) và (2) suy ra (fleft( a ight)fleft( b ight) < 0)

Mặt khác, (fleft( x ight)) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình (fleft( x ight) = 0) luôn có nghiệm.