Bài 2. 2 trang 163 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Cho hàm số...

Cho hàm số

(fleft( x ight) = left{ matrix{
{x^2}{ m{ ,,, nếu }},,x ge 0 hfill cr
{x^2} – 1,,,{ m{ nếu }},,x < 0 hfill cr} ight.)

a)      Vẽ đồ thị của hàm số (fleft( x ight)). Từ đó dự đoán về giới hạn của (fleft( x ight)) khi (x o 0)

b)      Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.

Giải:

(fleft( x ight) = left{ matrix{
{x^2}{ m{ ,,, nếu }},,x ge 0 hfill cr 
{x^2} – 1,,,{ m{ nếu }},,x < 0 hfill cr} ight.) 

a)      (H.6) Dự đoán : Hàm số (fleft( x ight)) không có giới hạn khi (x o 0)

b)      Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là ({a_n} = {1 over n}) và ({b_n} =  – {1 over n})

Ta có, ({a_n} o 0) và ({b_n} o 0) khi (n o  + infty )       (1)

Vì ({1 over n} > 0) nên (fleft( {{a_n}} ight) = {1 over {{n^2}}})

Do đó, (mathop {lim }limits_{n o  + infty } fleft( {{a_n}} ight) = mathop {lim }limits_{n o  + infty } {1 over {{n^2}}} = 0)           (2)

Vì ( – {1 over n} < 0) nên (fleft( {{b_n}} ight) = {1 over {{n^2}}} – 1)

Do đó, (mathop {lim }limits_{n o  + infty } fleft( {{b_n}} ight) = mathop {lim }limits_{n o  + infty } left( {{1 over {{n^2}}} – 1} ight) =  – 1)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra (fleft( x ight)) không có giới hạn khi (x o 0)