Bài 3.4 trang 169 bài tập SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng:...

Cho hàm số (y = fleft( x ight)) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀

Chứng minh rằng nếu (mathop {lim }limits_{x o {x_0}} {{fleft( x ight) – fleft( {{x_0}} ight)} over {x – {x_0}}} = L) thì hàm số (fleft( x ight)) liên tục tại điểm x₀

Hướng dẫn: Đặt (gleft( x ight) = {{fleft( x ight) – fleft( {{x_0}} ight)} over {x – {x_0}}} – L) và biểu diễn (fleft( x ight)) qua (gleft( x ight))

Giải:

Đặt (gleft( x ight) = {{fleft( x ight) – fleft( {{x_0}} ight)} over {x – {x_0}}} – L)

Suy ra (gleft( x ight)) xác định trên (left( {a{ m{ }};{ m{ }}b} ight)ackslash left{ {{x_0}} ight}) và (mathop {lim }limits_{x o {x_0}} gleft( x ight) = 0)

Mặt khác, (fleft( x ight) = fleft( {{x_0}} ight) + Lleft( {x – {x_0}} ight) + left( {x – {x_0}} ight)gleft( x ight)) nên

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {x_0}} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} left[ {fleft( {{x_0}} ight) + Lleft( {x – {x_0}} ight) + left( {x – {x_0}} ight)gleft( x ight)} ight] cr
& = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} fleft( {{x_0}} ight) + mathop {lim }limits_{x o {x_0}} Lleft( {x – {x_0}} ight) + mathop {lim }limits_{x o {x_0}} left( {x – {x_0}} ight).mathop {lim }limits_{x o {x_0}} gleft( x ight) = fleft( {{x_0}} ight). cr} ) 

Vậy hàm số (y = fleft( x ight)) liên tục tại