Bài 3.5 trang 169 SBT Đại số và giải tích 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau:...

Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = sqrt {x + 5}) tại x = 4 ;

b)

(gleft( x ight) = left{ matrix{
{{x – 1} over {sqrt {2 – x} – 1}},,,{ m{ nếu }},,x le 1 hfill cr
– 2x{ m{ ,,, nếu }},,x ge 1 hfill cr} ight.) tại x = 1

Giải:

a)     Hàm số (fleft( x ight) = sqrt {x + 5} ) có tập xác định là  ({ m{[}} – 5{ m{ }};{ m{ }} + infty )). Do đó, nó xác định trên khoảng (left( { – 5{ m{ }};{ m{ }} + infty } ight)) chứa x = 4

Vì (mathop {lim }limits_{x o 4} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o 4} sqrt {x + 5}  = 3 = fleft( 4 ight)) nên (fleft( x ight)) liên tục tại x = 4

b)     Hàm số:  (gleft( x ight) = left{ matrix{
{{x – 1} over {sqrt {2 – x} – 1}},,,{ m{ nếu }},,x le 1 hfill cr 
– 2x{ m{ ,,, nếu }},,x ge 1 hfill cr} ight.) tại x = 1 có tập xác định là R

Ta có, (gleft( 1 ight) =  – 2)        (1)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} gleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} {{x – 1} over {sqrt {2 – x} – 1}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} {{left( {x – 1} ight)left( {sqrt {2 – x} + 1} ight)} over {1 – x}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} left( { – sqrt {2 – x} – 1} ight) = – 2 cr})         (2)

(mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} gleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} left( { – 2x} ight) =  – 2)        (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra (mathop {lim }limits_{x o 1} gleft( x ight) =  – 2 = gleft( 1 ight))

Vậy g(x) liên tục tại x = 1