Bài 2.56 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với...

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A( – 5;6), B( – 4; – 1), C(4;3)

a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;

b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho (left| {overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MC} } ight|) ngắn nhất

Gợi ý làm bài

a) Gọi H(x; y). Ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {AH} = (x + 5;y – 6) cr
& overrightarrow {CH} = (x – 4;y – 3) cr} )

Và 

(eqalign{
& overrightarrow {BC} = (8;4) cr
& overrightarrow {AB} = (1; – 7) cr} )

H là trực tâm giác ABC 

(eqalign{
& Leftrightarrow left{ matrix{
overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = 0 hfill cr
overrightarrow {CH} .overrightarrow {AB} = 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
8(x + 5) + 4(y – 6) = 0 hfill cr
(x – 4) – 7(x – 3) = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = – 3 hfill cr
y = 2 hfill cr} ight. cr} )

Vậy H(-3;2)

b) Vì M thuộc trục Oy nên M(O;y).

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là (left( { – {5 over 3};{8 over 3}} ight)) và (d = left| {overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MC} } ight| = left| {3overrightarrow {MG} } ight| = 3left| {overrightarrow {MG} } ight|)

d đạt giá trị nhỏ nhất ( Leftrightarrow MG ot Oy Leftrightarrow y = {y_G} Leftrightarrow y = {8 over 3})

Vậy (M(0;{8 over 3}))