Bài 19 trang 57 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tam giác ABC vuông ở A, BC=2a,

Cho tam giác ABC vuông ở A, BC = 2a,  (widehat {ACB})  =30⁰. Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và cùng vuông góc với mp(ABC).

1) Xác định vị trí điểm B₁ trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BB₁ tiếp xúc với Cy.

Xác định điểm C₁ trên Cy sao cho mặt cầu đường kính AC₁ tiếp xúc với Bx.

2) Với các điểm B₁, C₁ tìm được ở trên, hỏi đa diện ABCC₁B₁ có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó.

Giải

1) Gọi I là trung điểm của BB₁ thì mặt cầu đường kính BB₁ tiếp xúc với Cy tại J khi và chỉ khi (IJ = {1 over 2}B{B_1}). Mặt khác, dễ thấy IJ = BC = 2a.

Vậy BB₁ = 4a. Hệ thức này xác định vị trí điểm B₁.

( ullet ) Gọi K là trung điểm của AC₁ thì mặt cầu đường kính AC₁ tiếp xúc với Bx khi và chỉ khi khoảng cách từ điểm K đến Bx bằng ({1 over 2}A{C_1}), tức là (K{K_1} = {1 over 2}A{C_1}) hay (BK' = {1 over 2}A{C_1}), trong đó K’ là trung điểm của AC.

Dễ thấy AB = a, (AC = asqrt 3 ), từ đó

(BK{'^2} = {a^2} + {left( {{{asqrt 3 } over 2}} ight)^2} = {{7{a^2}} over 4} Rightarrow BK' = {{asqrt 7 } over 2}.)

Như vậy,mặt cầu đường kính AC₁ tiếp xúc với Bx khi và chỉ khi (A{C_1} = asqrt 7 ), từ đó (CC_1^2 = 7{a^2} - 3{a^2} = 4{a^2}), tức là (C{C_1} = 2a). Hệ thức này xác định vị trí điểm C₁. (Khi đó (J equiv {C_1}).)

2) ( ullet ) Khi BB₁ = 4a, CC₁ = 2a thì (B{B_1}{C_1}C) là hình thang vuông tại B, C với hai đáy có độ dài khác nhau nên (B{B_1}{C_1}C)  không có đường tròn ngoại tiếp. Vậy đa diện (ABC{C_1}{B_1}) không có mặt cầu ngoại tiếp.

Dễ thấy A.BCC₁B₁ là hình chóp đỉnh A, đáy là BCC₁B₁ và mp(ABC) vuông góc với mp(BCC₁B₁). Từ đó

({V_{A.BC{C_1}{B_1}}} = {1 over 3}.{1 over 2}(B{B_1} + C{C_1}).BC.AH)

(AH là đường cao của tam giác vuông ABC)

Hay ({V_{A.BC{C_1}{B_1}}} = {1 over 6}(4a + 2a).AB.AC)

                          (= {1 over 6}.6a.a.asqrt 3  = {a^3}sqrt 3 .)

Sachbaitap.com