Bài 18 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 18 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

a) (intlimits_1^2 {{x^5}} ln xdx;)               b) (intlimits_0^1 {left( {x + 1} ight)} {e^x}dx;)       

c) (intlimits_0^pi  {{e^x}} cos xdx;)         d) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {xcos xdx.} )

Giải

a) Đặt 

(left{ matrix{
u = ln x hfill cr
dv = {x^5}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {{dx} over x} hfill cr
v = {{{x^6}} over 6} hfill cr} ight.)

 (intlimits_1^2 {{x^5}} ln xdx = left. {{{{x^6}} over 6}ln x} ight|_1^2 - {1 over 6}intlimits_1^2 {{x^5}} dx = left. {left( {{{{x^6}} over 6}ln x - {{{x^6}} over {36}}} ight)} ight|_1^2 = {{32} over 3}ln 2 - {7 over 4})

b) Đặt 

(left{ matrix{
u = x + 1 hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

(intlimits_0^1 {left( {x + 1} ight)} {e^x}dx = left. {left( {x + 1} ight){e^x}} ight|_0^1 - intlimits_0^1 {{e^x}dx = e} )

c) Đặt (I = intlimits_0^pi  {{e^x}cos xdx} )

Đặt

(left{ matrix{
u = {e^x} hfill cr
dv = cos xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {e^x}dx hfill cr
v = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} hfill cr} ight.)

Suy ra (I = left. {{e^x}{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}} ight|_0^pi  - intlimits_0^pi  {{e^x}sin { m{x}}dx}  =  - intlimits_0^pi  {{e^x}sin { m{x}}dx} ) 

Đặt 

(left{ matrix{
u = {e^x} hfill cr
dv = sin { m{x}}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {e^x}dx hfill cr
v = - cos x hfill cr} ight.)

Do đó (I =  - left[ {left. {left( { - {e^x}cos x} ight)} ight|_0^pi  + intlimits_0^pi  {{e^x}cos xdx} } ight] = {e^pi }cos pi  - {e^0}.cos 0 - I)

( Rightarrow 2I =  - {e^pi } - 1 Rightarrow I =  - {1 over 2}left( {{e^pi } + 1} ight))      

b) Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = cos xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} hfill cr} ight.)

Do đó (intlimits_0^{{pi  over 2}} {xcos xdx = left. {xsin x} ight|_0^{{pi  over 2}}}  - intlimits_0^{{pi  over 2}} {sin { m{x}}dx = left. {left( {xsin x + cos x} ight)} ight|_0^{{pi  over 2}}}  = {pi  over 2} - 1)

soanbailop6.com