Bài 17 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp ...
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước, tìm hình chóp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Giải
Kí hiệu cạnh đáy của hình chóp là a, chiều cao là h, thể tích khối chóp là V, diện tích toàn phần là Stp thì (r = {{3V} over {{S_{tp}}}}), tức là ({S_{tp}} = {{3V} over r}). Vậy Stp nhỏ nhất khi và chỉ khi V nhỏ nhất.
Mặt khác, cũng từ hệ thức ({S_{tp}} = {{3V} over r}), ta có hệ thức liên hệ giữa a, h và r là
(eqalign{ & r = {{ah} over {a + sqrt {{a^2} + 12{h^2}} }};;;;(1) cr & left( {V = {1 over 3}.{{{a^2}sqrt 3 } over 4}.h = {{sqrt 3 } over {12}}{a^2}.h} ight). cr} )
Gọi M là trung diểm của BC và đặt (widehat {SMH}) =(varphi ) (đó là góc giữa mp(SBC) và mp(ABC), cũng là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp). Khi ấy
(h = {{asqrt 3 } over 6} an varphi ;;;;(2))
Thay (2) vào (1), ta có (a = {{6r(cos varphi + 1)} over {sqrt 3 sin varphi }},) từ đó thay vào (2), ta có (h = {{r(cos varphi + 1)} over {cos varphi }})
Suy ra ({a^2} = 12{r^2}{{1 + cos varphi } over {1 - cos varphi }},)
Vậy
(eqalign{ V& = {{sqrt 3 } over {12}}.12{r^2}.{{1 + cos varphi } over {1 - cos varphi }}.r.{{1 + cos varphi } over {cos varphi }} cr & = sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + cos varphi )}^2}} over {{ m{cos}}varphi { m{(1 - cos}}varphi { m{)}}}} = sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + t)}^2}} over {t(1 - t)}} cr} )
với (0<t=cosvarphi <1).
Xét hàm số (f(t) = {{{{(1 + t)}^2}} over {t(1 - t)}},0 < t < 1,) thì V nhỏ nhất khi và chỉ khi f(t) nhỏ nhất.
Ta có:
(eqalign{
f'(t) &= {{2left( {1 + t}
ight)tleft( {1 - t}
ight) - {{left( {1 + t}
ight)}^2}left( {1 - 2t}
ight)} over {{t^2}{{left( {1 - t}
ight)}^2}}} cr
& = {{2left( {t - {t^3}}
ight) - left( {1 - 3{t^2} - 2{t^3}}
ight)} over {{t^2}{{left( {1 - t}
ight)}^2}}} cr
& = {{3{t^2} + 2t - 1} over {{t^2}{{left( {1 - t}
ight)}^2}}} cr} )
(f'(t) = 0 Leftrightarrow t = {1 over 3}.)
Xét bảng biến thiên sau
Vậy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi (t = {1 over 3}), tức là (cos varphi = {1 over 3}.) Khi đó h=4r, ( an varphi = 2sqrt 2 ,) từ đó (a = 2rsqrt 6 .)
Vậy khi (a = 2rsqrt 6 ), (h=4r) thì diện tích toàn phần của hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất.
Sachbaitap.com
