Bài 16 trang 8 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho phép vị tự V tâm O

Cho phép vị tự V tâm O tỉ số (k e 1) và phép vị tự V^’tâm O^’ tỉ số k^’. Chứng minh rằng nếu kk^’=1 thì hợp thành của V và V^’là một phép tịnh tiến.

Giải

Với mỗi điểm M, ta lấy M₁ sao cho (overrightarrow {O{M_1}}  = koverrightarrow {OM} )rồi lấy điểm M^’ sao cho (overrightarrow {{O'}M'}  = {k'}overrightarrow {{O'}{M_1}} ) thì hợp thành V và V^’biến điểm M thành M^’.

Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {M{M'}}  = overrightarrow {M{M_1}}  + overrightarrow {{M_1}{M'}} cr& =overrightarrow {O{M_1}}  - overrightarrow {OM}  + overrightarrow {{O'}{M'}}  - overrightarrow {{O'}{M_1}}   cr  &  = overrightarrow {O{M_1}}  - {1 over k}overrightarrow {O{M_1}}  + {k'}overrightarrow {{O'}{M_1}}  - overrightarrow {{O'}{M_1}}   cr  &  = left( {1 - {1 over k}} ight)overrightarrow {O{M_1}}  + left( {{k'} - 1} ight)overrightarrow {{O'}{M_1}}   cr  &  = left( {1 - {1 over k}} ight)overrightarrow {O{M_1}}  + left( {1 - {k'}} ight)overrightarrow {{M_1}{O'}} . cr} )

Chú ý rằng vì kk^’=1 nên ({k'} = {1 over k}), bởi vậy đẳng thức trên trở thành :

(overrightarrow {M{M'}}  = left( {1 - {1 over k}} ight)left( {overrightarrow {O{M_1}}  + overrightarrow {{M_1}{O'}} } ight) = {{k - 1} over k}overrightarrow {O{O'}} .)

Từ đó suy ra hợp thành của V và V^’ là phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v  = {{k - 1} over k}overrightarrow {O{O'}} ).

Sachbaitap.com