Bài 15 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

Bài 15 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng minh:

Bài 15. Tam giác (ABC) cân tại (A) có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn ((O)).Tiếp tuyến tại (B) và (C) của đường tròn lần lượt cắt tia (AC) và tia (AB) ở (D) và (E). Chứng minh:

a) (BD^2 = AD.CD)

b) Tứ giác (BCDE) là tứ giác nội tiếp

c) (BC) song song với (DE)

Hướng dẫn làm bài:

a) Xét (∆ADB) và (∆BDC), ta có:

(widehat {BA{ m{D}}} = widehat {CB{ m{D}}}) (góc nội tiếp cùng chắn cung (BC))

(widehat {{D_1}}) góc chung

Vậy (∆ADB) đồng dạng (∆BDC) ⇒ ({{B{ m{D}}} over {C{ m{D}}}} = {{A{ m{D}}} over {B{ m{D}}}} = B{{ m{D}}^2} = A{ m{D}}.C{ m{D}}) (đpcm)

b) Ta có (widehat {A{ m{E}}C}) là góc có đỉnh ở bên ngoài ((O))

(widehat {AEC} = {sđoverparen{AC}-sđoverparen{BC}over 2} = { sđoverparen{AB}-sđoverparen{BC}over 2} = widehat {ADB})

Xét tứ giác (BCDE), ta có: (widehat {A{ m{E}}C}) và (widehat {ADB}) là hai góc liên tiếp cùng nhìn đoạn (BC) và (widehat {A{ m{E}}C} = widehat {ADB}) . Vậy tứ giác (BCDE) nội tiếp đường tròn

c) Ta có: (widehat {ACB} + widehat {BC{ m{D}}} = {180^0}) (hai góc kề bù).

hay (widehat {ABC} + widehat {BC{ m{D}}} = {180^0}) ((∆ABC) cân tại (A))

( Rightarrow widehat {ABC} = {180^0} - widehat {BC{ m{D}}}(1)) 

Vì (BCDE) là tứ giác nội tiếp nên

(widehat {BE{ m{D}}} + widehat {BC{ m{D}}} = {180^0} Rightarrow widehat {BE{ m{D}}} = {180^0} - widehat {BC{ m{D}}}(2)) 

So sánh (1) và (2), ta có: (widehat {ABC} = widehat {BE{ m{D}}}) 

Ta cũng có: (widehat {ABC}) và (widehat {BE{ m{D}}}) là hai góc đồng vị. Suy ra: (BC // DE) (đpcm)

soanbailop6.com