Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM – GIẢI TÍCH 12...

Bài 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

a) (intlimits_0^{{pi  over 24}} { an ({pi  over 4} – 4x)dx} ) (đặt (u = cos ({pi  over 3} – 4x)) )

b) (intlimits_{{{sqrt 3 } over 5}}^{{3 over 5}} {{{dx} over {9 + 25{x^2}}}} ) (đặt (x = {3 over 5} an t) )

c) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{sin }^3}} x{cos ^4}xdx) (đặt u = cos x)

d) (intlimits_{{{ – pi } over 4}}^{{pi  over 4}} {{{sqrt {1 + an x} } over {{{cos }^2}x}}} dx) (đặt (u = sqrt {1 + an x} ) )

Trả lời:

a) Ta có:

Đặt (u = cos ({pi  over 3} – 4x)) thì (u’ = 4sin({pi  over 3} – 4x))

Khi (x = 0) thì (u = {1 over 2}) ; khi (x = {pi  over {24}} Rightarrow u = {{sqrt 3 } over 2})

Khi đó:

(eqalign{
& intlimits_0^{{pi over {24}}} { an ({pi over 3}} – 4x)dx = {1 over 4}intlimits_0^{{pi over {24}}} {{{dcos ({pi over 3} – 4x)} over {cos ({pi over 3} – 4x)}}} cr
& = {1 over 4}intlimits_{{1 over 2}}^{{{sqrt 3 } over 2}} {{{du} over u}} ={1 over 4}ln |u|left| {_{{1 over 2}}^{{{sqrt 3 } over 2}}} ight.= {1 over 4}ln sqrt 3 cr} )

b)

Đặt 

(x = {3 over 5} an t Rightarrow left{ matrix{
9 + 25{x^2} = 9(1 + { an ^2}t) hfill cr
dx = {3 over 5}(1 + { an ^2}t) hfill cr} ight.)

Đổi cận: (x = {{sqrt 3 } over 5} Rightarrow t = {pi  over 6};x = {3 over 5} Rightarrow t = {pi  over 4})

Do đó:

(intlimits_{{{sqrt 3 } over 5}}^{{3 over 5}} {{{dx} over {9 + 25{x^2}}}}  = intlimits_{{pi  over 6}}^{{pi  over 4}} {{1 over {15}}dt ={1 over {15}}tleft| {_{{pi  over 6}}^{{pi  over 4}}} ight. {pi  over {180}}} )

 c) Đặt (t = cos x) thì (dt = -sin x dx)

Khi (x = 0 Rightarrow t = 1;x = {pi  over 2} Rightarrow t = 0)

Do đó:

(eqalign{
& intlimits_0^{{pi over 2}} {{{sin }^3}x{{cos }^4}xdx = intlimits_1^0 { – (1 – {t^2}){t^4}} dt} cr
& = – intlimits_0^1 {({t^4} – {t^6})dt = – ({{{t^5}} over 5}} – {{{t^7}} over 7})left| {_0^1} ight. = {2 over {35}} cr} )

 d) Đặt (u = sqrt {1 + an x}  Rightarrow {t^2} = 1 + an x Rightarrow 2tdt = {{dx} over {{{cos }^2}x}})

Do đó: 

(intlimits_{{{ – pi } over 4}}^{{pi  over 4}} {{{sqrt {1 + an x} } over {{{cos }^2}x}}} dx = intlimits_0^{sqrt 2 } {2{t^2}dt = {2 over 3}} {t^3}left| {_0^{sqrt 2 }} ight. = {{4sqrt 2 } over 3})