Câu 10 trang 147 SGK Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM – GIẢI TÍCH 12...

Bài 10. Giải các bất phương trình sau

a) ({{{2^x}} over {{3^x} – {2^x}}} le 2)

b) ({({1 over 2})^{{{log }_2}({x^2} – 1)}} > 1)

c) ({log ^2}x + 3log x ge 4)

d) ({{1 – {{log }_4}x} over {1 + {{log }_2}x}} le {1 over 4})

Trả lời:

 a) Ta có:

 ({{{2^x}} over {{3^x} – {2^x}}} le 2 Leftrightarrow {1 over {{{({3 over 2})}^x} – 1}} le 2)

Đặt (t = {({3 over 2})^2}(t > 0)) , bất phương trình trở thành:

(eqalign{
& {1 over {t – 1}} le 2 Leftrightarrow {1 over {t – 1}} – 2 le 0 Leftrightarrow {{ – 2t + 3} over {t – 1}} le 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
0 < t < 1 hfill cr
t ge {3 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
{({3 over 2})^x} < 1 hfill cr
{({3 over 2})^2} ge {3 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x < 0 hfill cr
x ge 1 hfill cr} ight. cr} )

 b) Ta có:

(eqalign{
& {({1 over 2})^{{{log }_2}({x^2} – 1)}} > 1 Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} – 1 > 0 hfill cr
{log _2}({x^2} – 1) < 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow 0 < {x^2} – 1 < 1 Leftrightarrow 1 < |x| < sqrt 2 cr
& Leftrightarrow x in ( – sqrt 2 , – 1) cup (1,sqrt 2 ) cr} )

c) Điều kiện: (x > 0)

(eqalign{
& {log ^2}x + 3log x ge 4 Leftrightarrow (log x + 4)(logx – 1) ge 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{mathop{ m logx} olimits} ge 1 hfill cr
logx le – 4 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x ge 10 hfill cr
0 < x le {10^{ – 4}} hfill cr} ight. cr} )

 d) Ta có: 

(eqalign{
& {{1 – {{log }_4}x} over {1 + {{log }_2}x}} le {1 over 4} Leftrightarrow {{1 – {{log }_4}x} over {1 + 2{{log }_4}x}} le {1 over 4} cr
& Leftrightarrow {{3 – 6{{log }_4}x} over {1 + 2{{log }_4}x}}le0  cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{log _4}x le {{ – 1} over 2} hfill cr
{log _4}x ge {1 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
0 < x < {1 over 2} hfill cr
x ge 2 hfill cr} ight. cr} )