Câu 2 trang 145 SGK Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM – GIẢI TÍCH 12...

Bài 2. Cho hàm số: (y =  – {1 over 3}{x^3} + (a – 1){x^2} + (a + 3)x – 4)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi (a = 0)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (y = 0, x = -1, x = 1)

Trả lời:

a) Khi (a = 0) ta có hàm số: (y =  – {1 over 3}{x^3} – {x^2} + 3x – 4)

– Tập xác định : ((-∞, +∞))

– Sự biến thiên: (y’= -x^2 – 2x + 3)

(y’=0 ⇔ x = 1, x = -3)

Trên các khoảng ((-∞, -3)) và ((1, +∞), y’ < 0) nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng ((-3, 1), y’ > 0)

_ Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x = 1), ({y_{CD}} = {{ – 7} over 3})

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = -3), ({y_{CT}} =  – 13)

_ giới hạn vô cực : (mathop {lim }limits_{x o  + infty }  =  – infty ,mathop {lim }limits_{x o  – infty }  =  + infty )

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại (y = -4)

Đồ thị cắt trục hoành tại (x ≈ 5, 18)

b) Hàm số (y =  – {1 over 3}{x^3} – {x^2} + 3x – 4) đồng biến trên khoảng ((-3, 1)) nên:

(y < y(1) = {{ – 7} over 3} < 0),  (∀x ∈ (-1, 1))

Do đó , diện tích cần tính là:

(int_{ – 1}^1 {( – {1 over 3}{x^3} – {x^2} + 3x – 4} )dx = {{26} over 3})