Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12

Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

Bài 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

a) (intlimits_0^{{pi  over 24}} { an ({pi  over 4} - 4x)dx} ) (đặt (u = cos ({pi  over 3} - 4x)) )

b) (intlimits_{{{sqrt 3 } over 5}}^{{3 over 5}} {{{dx} over {9 + 25{x^2}}}} ) (đặt (x = {3 over 5} an t) )

c) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{sin }^3}} x{cos ^4}xdx) (đặt u = cos x)

d) (intlimits_{{{ - pi } over 4}}^{{pi  over 4}} {{{sqrt {1 + an x} } over {{{cos }^2}x}}} dx) (đặt (u = sqrt {1 + an x} ) )

Trả lời:

a) Ta có:

Đặt (u = cos ({pi  over 3} - 4x)) thì (u' = 4sin({pi  over 3} - 4x))

Khi (x = 0) thì (u = {1 over 2}) ; khi (x = {pi  over {24}} Rightarrow u = {{sqrt 3 } over 2})

Khi đó:

(eqalign{
& intlimits_0^{{pi over {24}}} { an ({pi over 3}} - 4x)dx = {1 over 4}intlimits_0^{{pi over {24}}} {{{dcos ({pi over 3} - 4x)} over {cos ({pi over 3} - 4x)}}} cr
& = {1 over 4}intlimits_{{1 over 2}}^{{{sqrt 3 } over 2}} {{{du} over u}} ={1 over 4}ln |u|left| {_{{1 over 2}}^{{{sqrt 3 } over 2}}} ight.= {1 over 4}ln sqrt 3 cr} )

b)

Đặt 

(x = {3 over 5} an t Rightarrow left{ matrix{
9 + 25{x^2} = 9(1 + { an ^2}t) hfill cr
dx = {3 over 5}(1 + { an ^2}t) hfill cr} ight.)

Đổi cận: (x = {{sqrt 3 } over 5} Rightarrow t = {pi  over 6};x = {3 over 5} Rightarrow t = {pi  over 4})

Do đó:

(intlimits_{{{sqrt 3 } over 5}}^{{3 over 5}} {{{dx} over {9 + 25{x^2}}}}  = intlimits_{{pi  over 6}}^{{pi  over 4}} {{1 over {15}}dt ={1 over {15}}tleft| {_{{pi  over 6}}^{{pi  over 4}}} ight. {pi  over {180}}} )

 c) Đặt (t = cos x) thì (dt = -sin x dx)

Khi (x = 0 Rightarrow t = 1;x = {pi  over 2} Rightarrow t = 0)

Do đó:

(eqalign{
& intlimits_0^{{pi over 2}} {{{sin }^3}x{{cos }^4}xdx = intlimits_1^0 { - (1 - {t^2}){t^4}} dt} cr
& = - intlimits_0^1 {({t^4} - {t^6})dt = - ({{{t^5}} over 5}} - {{{t^7}} over 7})left| {_0^1} ight. = {2 over {35}} cr} )

 d) Đặt (u = sqrt {1 + an x}  Rightarrow {t^2} = 1 + an x Rightarrow 2tdt = {{dx} over {{{cos }^2}x}})

Do đó: 

(intlimits_{{{ - pi } over 4}}^{{pi  over 4}} {{{sqrt {1 + an x} } over {{{cos }^2}x}}} dx = intlimits_0^{sqrt 2 } {2{t^2}dt = {2 over 3}} {t^3}left| {_0^{sqrt 2 }} ight. = {{4sqrt 2 } over 3})

 soanbailop6.com