Bài 10 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hai tứ diện

Cho hai tứ diện (ABCD) và ({A'}{B'}{C'}{D'}) có các cạnh tương ứng bằng nhau : (AB = {A'}{B'},BC = {B'}{C'},CD = {C'}{D'},)

(DA = {D'}{A'},DB = {D'}{B'},AC = {A'}{C'}.) Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm (A,B,C,D) lần lượt thành các điểm ({A'},{B'},{C'},{D'}).

Giải

Giả sử có hai phép dời hình ({f_1}) và ({f_2}) đều biến các điểm (A,B,C,D) lần lượt thành các điểm ({A'},{B'},{C'},{D'}). Nếu ({f_1}) và ({f_2}) khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu ({M_1} = fleft( M ight),{M_2} = fleft( M ight)) thì ({M_1})và ({M_2}) là hai điểm phân biệt.

Khi đó, vì ({f_1}) và ({f_2}) đều là phép dời hình nên ({A'}{M_1} = AM,{A'}{M_2} = AM,) vậy ({A'}{M_1} = {A'}{M_2}) tương tự ({B'}{M_1} = {B'}{M_2},{C'}{M_1} = {C'}{M_2},{D'}{M_1} = {D'}{M_2},) do đó bốn điểm ({A'};{B'};{C'};{D'}) cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ({M_1}{M_2}), trái với giả thiết ({A'}{B'}{C'}{D'}) là hình tứ diện.

Vậy với mọi điểm M, ta đều có ({f_1}left( M ight) = {f_2}left( M ight)), tức là hai phép dời hình ({f_1}) và ({f_2}) trùng nhau.

Sachbaitap.com