Bài 1.35 trang 34 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm...

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh: (overrightarrow {HA}  + overrightarrow {HD}  = 2overrightarrow {HO} );

(overrightarrow {HA}  + overrightarrow {HB}  + overrightarrow {HC}  = 2overrightarrow {HO} );

(overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC}  = overrightarrow {OH} ).

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh (overrightarrow {OH}  = 3overrightarrow {OG} )

Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.55)

a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên (BD ot AB,DC ot AC)

Ta có (CH ot AB,BH ot AC) nên suy ra CH // BD và BH // DC.

Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Vì O là trung điểm của AD nên (overrightarrow {HA}  + overrightarrow {HD}  = 2overrightarrow {HO} (1))

Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có (overrightarrow {HB}  + overrightarrow {HC}  = overrightarrow {HD} ). 

Vậy từ (1) suy ra:

(overrightarrow {HA}  + overrightarrow {HB}  + overrightarrow {HC}  = 2overrightarrow {HO} (2))

Theo quy tắc ba điểm, từ (2) suy ra 

(overrightarrow {HO}  + overrightarrow {OA}  + overrightarrow {HO}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {HO}  + overrightarrow {OC}  = 2overrightarrow {HO} )

Vậy (overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC}  = overrightarrow {OH} (3))

c) G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có (overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC}  = 3overrightarrow {OG} )

Từ (3) suy ra (overrightarrow {OH}  = 3overrightarrow {OG} )

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.