Bài 1.33 trang 34 SBT Toán Hình học 10: Cho tứ giác ABCD....

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

(h.1.53) 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.

Khi đó $(overrightarrow {GA}  + overrightarrow {GN}  + overrightarrow {GP}  = overrightarrow 0 )

Ta có:

(overrightarrow {GC}  + overrightarrow {GM}  + overrightarrow {GQ}  = overrightarrow {GA}  + overrightarrow {AC}  + overrightarrow {GN}  + overrightarrow {NM}  + overrightarrow {GP}  + overrightarrow {PQ} )

( = (overrightarrow {GA}  + overrightarrow {GN}  + overrightarrow {GP} ) + overrightarrow {AC}  + (overrightarrow {NM}  + overrightarrow {PQ} ))

(overrightarrow { = AC}  + overrightarrow {CA}  = overrightarrow 0 )

(Vì (overrightarrow {NM}  = {1 over 2}overrightarrow {CA} ,overrightarrow {PQ}  = {1 over 2}overrightarrow {CA}) nên (overrightarrow {NM}  + overrightarrow {PQ}  = overrightarrow {CA} ))

Vậy (overrightarrow {GC}  + overrightarrow {GM}  + overrightarrow {GQ}  = overrightarrow 0 )

Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ.