Bài 1.24 trang 33 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho hai tam giác ABC và A'B'C'...

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng nếu (overrightarrow {AA’}  + overrightarrow {BB’}  + overrightarrow {CC’}  = overrightarrow 0 ) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

Gọ G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. Ta có:

(overrightarrow {AA’}  = overrightarrow {AG}  + overrightarrow {GG’}  + overrightarrow {G’A’} )

(overrightarrow {BB’}  = overrightarrow {BG}  + overrightarrow {GG’}  + overrightarrow {G’B’} )

(overrightarrow {CC’}  = overrightarrow {CG}  + overrightarrow {GG’}  + overrightarrow {G’C’} )

Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được

(overrightarrow {AA’}  + overrightarrow {BB’}  + overrightarrow {CC’}  = 3overrightarrow {GG’} )

Do đó, nếu (overrightarrow {AA’}  + overrightarrow {BB’}  + overrightarrow {CC’}  = overrightarrow 0 ) thì (overrightarrow {GG’}  = overrightarrow 0 ) hay G = G’

Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm thì (overrightarrow {AA’}  + overrightarrow {BB’}  + overrightarrow {CC’}  = overrightarrow 0 )