Bài 1.19 trang 23 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường...

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) (overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OC}  = overrightarrow {OB}  – overrightarrow {OD} )

b) (overrightarrow {BD}  = overrightarrow {ME}  + overrightarrow {FN} )

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.44)

a) (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {OB}  – overrightarrow {OA} )

(overrightarrow {DC}  = overrightarrow {OC}  – overrightarrow {OD} )

Vì (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {DC} ) nên ta có (overrightarrow {OB}  – overrightarrow {OA}  = overrightarrow {OC}  – overrightarrow {OD} )

Vậy (overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OD}  = overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OC} )

b) Tứ giác AMOE là hình bình hành nên ta có (overrightarrow {ME}  = overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MO} (1))

Tứ giác OFCN là hình bình hành nên ta có (overrightarrow {FN}  = overrightarrow {FO}  + overrightarrow {FC} (2))

Từ (1) và (2) suy ra:

(overrightarrow {ME}  + overrightarrow {EN}  = overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MO}  + overrightarrow {FO}  + overrightarrow {FC})

( = (overrightarrow {MA}  + overrightarrow {FO} ) + (overrightarrow {MO}  + overrightarrow {FC} ) = overrightarrow {BA}  + overrightarrow {BC}  = overrightarrow {BD} )

(Vì (overrightarrow {FO}  = overrightarrow {BM} ,overrightarrow {MO}  = overrightarrow {BF} ))

Vậy (overrightarrow {BD}  = overrightarrow {ME}  + overrightarrow {FN} )