Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy

- Giả sử người ta phải tính xấp xỉ đạo hàm của hàm số f(x) trên đoạn (a,b). Trước hết người ta thay hàm f(x) bằng đa thức nội suy p(x), sau đó lấy đạo hàm p'(x) và coi là xấp xỉ của đạo hàm f'(x).

Ta có thể dùng công thức nội suy Lagrange để tính đạo hàm:

Vì điểm c phụ thuộc x nên ước lượng (3.3) chỉ đánh giá được khi x là các mốc nội suy x=xi;

Thông thường người ta xét đa thức nội suy với mốc cách đều với h=x_i+1 – x_i .

Ví dụ.

Giả sử ta xác định được đa thức nội suy là:

p3(x) =8x3 -29x +5

Khi đó đạo hàm:

p3'(x) = 24x2 -29 được xem là xấp xỉ của f'(x).

Tính đạo hàm cấp 1.

Đạo hàm tại các điểm biên.

Khi x là điểm biên x0 hoặc xn ta dùng công thức nội suy bậc nhất với hai mốc nội suy để tính gần đúng đạo hàm:

y’(x₀) = (y₁-y₀)/h

y’(x_n) = (y_n-y_n-1)/h

Vì y_n = y_n-1 + y’(x_n) h + 0(h²) nên sai số của ước lượng O(h²).

Đạo hàm tại các điểm trong.

Khi x=xi là các điểm trong (i=1,2,..,n-1) ta dùng công thức nội suy bậc 2 có xi là điểm giữa

với x = x_i-1 +ht

Đạo hàm theo x ta được:

thay x=xi hay t=1 vào công thức trên ta được:

hay

với ∀i=1,2,…,n-1.

Để tính ước lượng sai số ta có các công thức:

hay công thức có sai số là O(h²).

Đạo hàm cấp 2.

Để tính đạo hàm cấp 2 ta dùng công thức nội suy cấp 2 để tính y’’(x_i). Đạo hàm hai lần liên tiếp biểu thức ta có:

ta có các công thức sau:

Vậy sai số có bậc O(h²).

Chú ý:

• Chúng ta đã có công thức tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các mốc nội suy. Để tính đạo hàm tại các điểm không là mốc ta lại áp dụng phương pháp nội suy Lagrange.
• Sai số khi tính đạo hàm ngoài sai số của công thức còn phải tính đến sai số làm tròn, và các bước nội suy h phải đủ nhỏ.

Ví dụ: Hàm y=f(x) được cho tại các mốc sẽ có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các mốc này được tính và cho trong bảng sau:

Người ta thường dùng một số phương pháp để tính gần đúng đạo hàm của hàm f(x) tại x trong đó hai phương pháp sau đây thường được dùng nhất: