những tính chất của biến đổi Fourrier

Thực / ảo - Chẳn / lẻ.

Bảng sau đây tóm tắt dựa trên sự quan sát quan sát hàm theo t.

Có thể dùng công thức Euler để chứng minh:

= R + j X

R là một hàm chẳn của f vì khi f được thay bằng -f thì hàm không đổi. Tương tự, X là một hàm lẻ của f.

Nếu s(t) giả sử là thực, R trở thành phần thực của biến đổi và X là phần ảo. Vậy tính chất A đã được chứng minh.

Nếu s(t) thực và chẳn, thì X = 0. Điều này đúng vì X lẻ ( tích của hàm chẳn và lẻ ) và tích phân là 0. Vậy tính chất B đã được chứng minh.

Nếu s(t) thực và lẻ, R = 0. ( Tính chất C ).

Nếu s(t) ảo, X trở thành phần ảo của biến đổi và R là phần thực. Từ quan sát đơn giản đó, các tích chất D, E, F dễ dàng được chứng thật.

Dời thời gian ( Time Shift ).

Biến đổi Fourrier của một hàm thời gian bị dời thì bằng với biến đổi của hàm thời gian gốc nhân bởi một hàm expo phức.

(2.49)

Ví dụ 10: Tìm biến đổi Fourrier của:

Hình 2.18 Dạng tín hiệu s(t).

Giải: Từ định nghĩa ta có:

Kết quả này có thể thu được từ việc dùng một hàm nấc trong ví dụ 4 và tính chất dời thời gian. s(t) ở ví dụ 10 trên đây thì giống như ở ví dụ 4 ( Với A = anfa = 1), ngoại trừ việc dịch thời gian 1 sec.

Dời tần số ( Frequency shift ).

Hàm theo thời gian tương ứng với một biến đổi Fourrier dời tần thì bằng với hàm theo thời gian của biến đổi không dời tần nhân với 1 hàm expo phức.

(2.50)

Ví dụ 11: Tìm biến đổi Fourrier của s(t).

Giải:

s(t) này giống như s(t) ở ví dụ 4 ( với A = anfa = 1), trừ việc nhân với thừa số e^j2pit .

Định lý về sự dời tần được dùng để thấy rằng biến đổi là biến đổi gốc bị dời bởi một đơn vị tần số.

Như vậy, ta lấy biến đổi trong ví dụ 4 và thay thế f - 1 cho f.

Hình 2.19 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t).

Sự tuyến tính.

Sự tuyến tính là tính chất quan trọng nhất của phép biến đổi Fourrier.

Biến đổi Fourrier của một tổ hợp tuyến tính của các hàm theo thời gian là một tổ hợp tuyến tính của các biến đổi Fourrier tương ứng.

(2.51)

Trong đó a, b là những hằng bất kỳ.

Có thể chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của phép biến đổi Fourrier và từ tính chất của tuyến tính của thuật toán tích phân.

= aS₁(f) + bS₂(f)

Ví dụ 12: Tìm biến đổi Fourrier của s(t).

Hình 2.20 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t).

Giải:

Ta dùng tính chất tuyến tính và thấy rằng s(t) là tổng của hàm trong ví dụ 4 với hàm trong ví dụ 11.

Vậy, biến đổi F cho bởi tổng của hai biến đổi.

Vì hàm được cho sẽ chẳn nếu bị dời về trái 0,5 sec, ta có thể viết lại.