Lý thuyết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Tóm tắt lý thuyết

1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

a) Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp phạm vi khảo sát.

b) Sự biến thiên : 

+ Xét sự biến thiên của hàm số :

 – Tìm đạo hàm bậc nhất y’ ;

 – Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định ;

 – Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số .

+ Tìm cực trị .

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị .

c) vẽ đồ thị (thể hiện các cực trị, tiệm cận, giao của đồ thị với các trục, . . .).

2. Bảng tóm tắt một số dạng đồ thị thường gặp

3.Chứng minh  ((x_{0};y_{0})) là tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Vậy để chứng minh (I(x_{0};y_{0})) là tâm đối xứng, ta dùng công thức đổi trục: (left{egin{matrix} x=x_{0}+X & y=y_{0}+Y & end{matrix} ight.) để đưa hệ trục Oxy về hệ trục IXY (gốc I) và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho có dạng Y=g(X) là hàm số lẻ.

(Chú ý: (M(x,y)in (C)Leftrightarrow y=f(x)Leftrightarrow Y+y_{0}=f(X+x_{0})Leftrightarrow Y=g(X))).

4. Chứng minh đường thẳng (Delta : x=x_{0}) là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng (Delta : x=x_{0}) là trục đối xứng, ta dùng công thức đổi trục (left{egin{matrix} x=x_{0}+X & y=Y & end{matrix} ight.) để đưa hệ số Oxy về hệ trục IXY ((Delta) là trục tung) và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho có dạng Y=g(X) là hàm số chẵn.

5. Tương giao của các đồ thị

Cho hai đồ thị ((C_{1}):y=f(x);) và ((C_{2}):y=g(x).)

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của ((C_{1})) và ((C_{2})) là: f(x)=g(x). (1)

– Nếu (1) vô nghiệm thì ((C_{1})) và ((C_{2})) không có điểm chung (không cắt nhau và không tiếp xúc với nhau).

– Nếu (1) có nnghiệm phân biệt thì  ((C_{1})) và ((C_{2})) giao nhau tại n điểm phân biệt. Nghiệm của (1) chính là hoành độ các giao điểm.

Chú ý

a)  ((C_{1})) tiếp xúc với ((C_{2})) (Leftrightarrow) hệ (left{ egin{matrix} f(x) =g(x)& f'(x)=g'(x) & end{matrix} ight.) có nghiệm. Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.

b) Đường thẳng (d): y: mx+n tiếp xúc với parabol (-1) (Leftrightarrow) hệ (left{ egin{matrix} ax^{2}+bx+c=mx+n 2ax+b=m) & end{matrix} ight.) có nghiệm 

(Leftrightarrow) phương trình (Leftrightarrow) (ax^{2}+bx+c=mx+n) có nghiệm kép.