Bài 3 trang 18 giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x=0...

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số (y=sqrt{left | x ight |}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Giải:

Đặt (y=f(x)=sqrt{left | x ight |}). Giả sử (x > 0), ta có :

(underset{x ightarrow 0^{+}}{lim}frac{sqrt{x}}{x}=underset{x ightarrow 0^{+}}{lim}frac{1}{sqrt{x}}=+infty .)

Do đó hàm số không có đạo hàm tại (x = 0) . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại (x = 0) vì (f(x)=sqrt{left | x ight |}geq 0=f(0),forall xinmathbb R).