Bài 5 trang 10 sách sgk giải tích 12- Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (tanx > x) ((0 < x < frac{pi }{2}));

b) (tanx > x + frac{x^{3}}{3} (0 < x < frac{pi }{2})).

Giải:

a) Xét hàm số (y = f(x) = tanx – x) với (x ∈ (0 ; frac{pi }{2})).

Ta có : (y’) = (frac{1}{cos^{2}x} – 1 ≥ 0), (x ∈ (0 ; frac{pi }{2})); (y’ = 0 ⇔ x = 0). Vậy hàm số luôn đồng biến trên ((0 ; frac{pi }{2})).

Từ đó (∀x ∈ (0 ; frac{pi }{2})) thì (f(x) > f(0))

(⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0) hay (tanx > x).

b) Xét hàm số (y = g(x) = tanx – x) – (frac{x^{3}}{3}). với (x ∈ (0 ; frac{pi }{2})).

Ta có : (y’ = frac{1}{cos^{2}x} – 1 -x^2)=(1 + { an ^2}x – 1 – {x^2} = (ta{n^2}x – {x^2}))

                                     = ((tanx – x)(tanx + x)),  (∀x ∈ (0 ;frac{pi }{2} )).

Vì (∀x ∈ (0 ; frac{pi }{2})) nên (tanx +x ≥ 0) và (tanx – x >0) (theo câu a).

Do đó (y’ ≥ 0, ∀x ∈ (0 ;frac{pi }{2})).

         Dễ thấy (y’ = 0 ⇔ x = 0). Vậy hàm số luôn đồng biến trên (0 ; (frac{pi }{2})). Từ đó : (∀x ∈ (0 ; frac{pi }{2})) thì (g(x) > g(0) )(⇔ tanx – x – frac{x^{3}}{3}) (> tan0 – 0 – 0 = 0) hay ( tanx > x + frac{x^{3}}{3}).