Lí thuyết nguyên hàm

Lí thuyết nguyên hàm

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu (x) = f(x) với mọi x ∈ K.

1, Nguyên hàm và tính chất

ĐỊNH NGHĨA

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

ĐỊNH LÍ

1)Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.

2)Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.

Tính chất của nguyên hàm:

∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

Sự tồn tại nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp:

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp	Nguyên hàm của hàm số tổ hợp
(int)0dx = C (int)dx = x + C (int)(x^{alpha })dx = (frac{x^{alpha +1}}{alpha +1}) +C    ((alpha)≠  -1) (int)(frac{1}{x})dx =ln(left | x ight |) +C (int)(e^{x})dx = (e^{x}) +C (int)(a^{x})dx = (frac{a^{x}}{lna}) + C (a>0, a ≠ 1) (int)cosxdx = sinx + C (int)sinxdx = - cosx + C (int)(frac{1}{(cos^{2}x)})dx = tanx + C (int)(frac{1}{(sin^{2}x)})dx = cotx + C	(int)0du = C (int)du= u +C (int)(u^{alpha })du = (frac{u^{alpha +1}}{alpha +1}) + C (int)(frac{1}{u})du = ln (left | u ight |) + C (int)(e^{u})du = (e^{u}) +C (int)(a^{u})đủ = (frac{a^{u}}{lna})  + C (int)cosudu = sinu + C  sinudu = -cosu +C du= tanu +C du =cotu +C

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp biến đổi số

Định lí 1. Nếu f(u)du = F(u)+ C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

                                 f(u(x))(x) = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u= ax +b (a≠0) thì ta có f(ax+b)dx = F(ax+b) + C