Giải SBT Toán 11 bài 2: Dãy số

Toán 11 - Dãy số

Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 2: Dãy số, với nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh rèn luyện giải bài tập Toán được nhanh hơn, quý thầy cô phục vụ trong công việc giảng dạy được tốt hơn. 

Giải SBT Toán 11 bài 2

Bài 2.1 trang 111 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) biết

a) u_n=10¹⁻²ⁿ

b) u_n=3ⁿ−7

c) u_n=2n+1/n²

d) u_n=3n√n/2ⁿ

Giải:

a) 1/10,1/10³,1/10⁵,1/10⁷,1/10⁹ Dự đoán dãy (u_n) giảm.

Để chứng minh, ta xét tỉ số u_n+1/u_n=10^1−2(n+1)/10¹⁻²ⁿ=1/10²<1. Vậy dãy số giảm

b) - 4, 2, 20, 74, 236. Xét dấu của hiệu u_n+1−u_n

c) 3,3/4,3/9,3/16,3/25. Làm tương tự câu b).

d) 3/2,9√2/4,27√3/8,81√4/16,243√5/32 Phần tiếp theo có thể làm tương tự câu a).

Chú ý. Qua bốn bài tập trên, học sinh có thể rút ra nhận xét về tính hợp lí của việc xét hiệu u_n+1−u_n hay tỉ số u_n+1/u_n khi khảo sát tính đơn điệu của dãy số.

Bài 2.2 trang 111 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong các dãy số (u_n) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

a) u_n=2n−n²

b) u_n=n+1/n

c) u_n=

d) u_n=1/n²−6n+11

Giải:

a) Bị chặn trên vì u_n≤1,∀n∈N∗

b) Bị chặn dưới vì u_n≥2,∀n∈N∗

c) Bị chặn dưới vì u_n≥√3,∀n∈N∗u

d) Bị chặn vì 0<u_n≤12,∀n∈N∗

Bài 2.3 trang 111 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

{u₁=5;u_n+1=u_n+3n−2 với n≥1

a) Tìm công thức tính (u_n) theo n;

b) Chứng minh (u_n) là dãy số tăng.

Giải:

a) ĐS: u_n=5+(n−1)(3n−4)/2

b) Tương tự bài Bài 2.1

Bài 2.4 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n) với

a) Viết công thức truy hồi của dãy số;

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Giải:

a) Ta có u₁=0

Xét hiệu u_n+1−u_n=(n+1)²−4(n+1)+3−n²+4n−3=2n−3

Vậy công thức truy hồi là

{u₁=0;u_n+1=u_n+2n−3 với n≥1

b) u_n=n²−4n+3=(n−2)²−1≥−1. Vậy dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

c)

S_n=1+2²+3²+...+n²−4(1+2+...+n)+3n

=n(n+1)(2n+1)/6−4.n(n+1)/2+3n

=n(n+1)(2n+1)−12n(n+1)+18n/6

=n(n+1)(2n−11)+18n/6

Bài 2.5 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n) với (u_n)=1+(n−1).2ⁿ

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Tìm công thức truy hồi;

c) Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Giải:

a) Học sinh tự giải.

b) HD: Tìm hiệu u_n+1−u_n

ĐS:

{u₁=1;u_n+1=u_n+(n+1)2ⁿ với n≥1

c) HD: Xét dấu u_n+1−u_n

Bài 2.6 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Các dãy số (u_n), (v_n)được xác định bằng công thức

a) {u₁=1;u_n+1=u_n+n³ với n≥1;

b) {v₁=2;v_n+1=v²_n với n≥1

Tìm công thức tính (u_n), (v_n) theo n. Tính số hạng thứ 100 của dãy số (u_n). Hỏi số 4294967296 là số hạng thứ mấy của dãy số (v_n)

Giải:

a) Từ u_n+1−u_n=n³ ta có

u₁=1;

u₂−u₁=1³;

u₃−u₂=2³;...u_n−1−u_n−2=(n−2)³;

u_n−u_n−1=(n−1)³

Cộng từng vế n đẳng thức trên và rút gọn, ta được

u_n=1+1³+2³+...+(n−1)³

Sử dụng kết quả bài tập 12 b) - ta có

1³+2³+...+(n−1)³=(n−1)²n²/4

Vậy

u_n=1+n²(n−1)²/4

u₁₀₀=24502501

b) Hãy viết một vài số hạng đầu của dãy và quan sát

v₁=2;

v₂=v²₁=2²;

v₃=v²₂=24=;

v₄=v²₃=2⁸=

Từ đây dự đoán vn=

Công thức trên dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Số 4294967296 là số hạng thứ sáu của dãy số (v_n)

Bài 2.7 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Dãy số (x_n) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A:

A={A₀,A₁,A₂,...,A_n}

Gọi B là điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A.

Đặt un là số các tam giác được tạo thành từ B và hai trong số n + 1 điểm A₀,A₁,A₂,...,A_n rồi lập dãy số u_n

a) Tính u₁,u₂,u₃,u₄

b) Chứng minh rằng u_n=C²_n+1 và

Giải:

a)

u₁=1

u₂=3

u₃=6

u₄=10

b) Số các tam giác un tạo thành từ B và n + 1 điểm chính là số tổ hợp chập 2 của n + 1 phần tử:

Áp dụng công thức C^k_n=C^k_n−1+C^k−1_n−1

Ta có C²_n+2=C²_n+1+C¹_n+1

Hay u_n+1=u_n+n+1

Bài 2.8 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N* thì 0<u_n<1 và u_n+1<1−1/4u_n

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Giải:

Vì 0<u_n<1 với mọi n nên 1−u_n+1>0

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có u_n+1(1−u_n+1)≤1/4

Mặt khác, từ giả thiết u_n+1<1−1/4u_n

suy ra u_n+1.u_n<un−1/4 hay 1/4<u_n(1−u_n+1)

So sánh (1) và (2) ta có:

u_n+1(1−u_n+1)<u_n(1−u_n+1) hay u_n+1<u_n 

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 11 bài 2: Dãy số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.