Đề 3 trang 88 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’

Câu 1. ( 3 điểm)

Xác định các giao điểm B’, C’, D’

Câu 2. ( 3 điểm)

Chứng minh ({{MB'} over {AB}} + {{MC'} over {AC}} + {{M{ m{D}}'} over {A{ m{D}}}} = 1)

Câu 3. ( 4 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ({{MB'} over {AB}}.{{MC'} over {AC}}.{{M{ m{D}}'} over {A{ m{D}}}})

Giải:

Câu 1. 

(h.2.83) (left( {ABM} ight) cap left( {BC{ m{D}}} ight) = BM)

Gọi I, J, K  lần lượt là giao điểm của BM và CD; CM  và BD; DM và BC.

Ta có : (left( {ABM} ight) cap left( {AC{ m{D}}} ight) = AI). Trong mặt phẳng (ABM), kẻ (MB'parallel AB) với (B' = MB' cap AI).

Ta có: (B' = MB' cap left( {AC{ m{D}}} ight))

Các điểm C’ và D’ được xác định tương tự.

Câu 2. 

(h.2.84)  Trong tam giác ABI, ta có:

({{MB'} over {AB}} = {{MI} over {BI}},,,,,,,,,,,,left( 1 ight))

Tương tự ta cũng có:

({{MC'} over {AC}} = {{MJ} over {CJ}},,,,,,,,,left( 2 ight))

({{MD'} over {AD}} = {{MK} over {DK}},,,,,,,,,,,left( 3 ight))

Cộng (1), (2), (3) lại ta có:

({{MB'} over {AB}} + {{MC'} over {AC}} + {{M{ m{D}}'} over {A{ m{D}}}} = {{MI} over {BI}} + {{MJ} over {CJ}} + {{MK} over {DK}}) 

Ta chứng minh:   

({{MI} over {BI}} + {{MJ} over {CJ}} + {{MK} over {DK}} = 1)

Dễ thấy rằng :

({{{S_{MB{ m{D}}}}} over {{S_{CB{ m{D}}}}}} = {{{1 over 2}B{ m{D}}.dleft( {M,B{ m{D}}} ight)} over {{1 over 2}B{ m{D}}{ m{.d}}left( {C,B{ m{D}}} ight)}} = {{MJ} over {CJ}})

Tương tự

({{{S_{MC{ m{D}}}}} over {{S_{{ m{BCD}}}}}} = {{MI} over {BI}}), ({{{S_{MBC}}} over {{S_{DBC}}}} = {{MK} over {DK}})

Như vậy:

({{MI} over {BI}} + {{MJ} over {CJ}} + {{MK} over {DK}} = {{{S_{MC{ m{D}}}} + {S_{MB{ m{D}}}} + {S_{MBC}}} over {{S_{BC{ m{D}}}}}} = {{{S_{BC{ m{D}}}}} over {{S_{BC{ m{D}}}}}} = 1) 

Câu 3.

({{MB'} over {AB}} + {{MC'} over {AC}} + {{MD'} over {A{ m{D}}}} le {left( {{{{{MI} over {BI}} + {{MJ} over {CJ}} + {{MK} over {DK}}} over 3}} ight)^3} = {1 over 9}). Dấu bằng xảy ra khi ({{MI} over {BI}} = {{MJ} over {CJ}} = {{MK} over {DK}} = {1 over 3}), chẳng hạn khi M là trọng tâm.

Vậy (max left( {{{MB'} over {AB}}.{{MC'} over {AC}}.{{MD'} over {A{ m{D}}}}} ight) = {1 over 9})   

Sachbaitap.com