Câu III.1, III.2 trang 114, 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Chứng minh: MNT là tam giác đều.

Câu III.1 Trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a. Lần lượt lấy B và D làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính a. Kẻ các đường kính ABE và ADF. Trên cung nhỏ CE của đường tròn tâm B lấy điểm M (không trùng với E và C). Đường thẳn CM cắt đường tròn tâm D tại điểm thứ hai là N. Hai đường thẳng EM và NF cắt nhau tại điểm T. Gọi H là giao điểm của AT và MN.

Chứng minh:

a) MNT là tam giác đều.

b) AT = 4AH.

Giải

 

a) Trong đường tròn (B) ta có:

(widehat {AMC} = {1 over 2}widehat {ABC}) (hệ quả góc nội tiếp) mà (widehat {ABC} = 60^circ ) (vì ∆ABC đều)

( Rightarrow widehat {AMC} = 30^circ )

(widehat {AME} = 90^circ ) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (B))

( Rightarrow widehat {AMT} = 90^circ )

(widehat {TMN} = widehat {AMT} - widehat {AMC} = 90^circ  - 30^circ  = 60^circ )

Trong đường tròn (D) ta có:

(widehat {ANC} = {1 over 2}widehat {ADC}) (Hệ quả góc nội tiếp) mà (widehat {ADC} = 60^circ ) (vì ∆ADC đều) ( Rightarrow widehat {ANC} = 30^circ )

(widehat {ANF} = 90^circ ) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (D))

( Rightarrow widehat {ANC} + widehat {CNF} = 90^circ  Rightarrow widehat {CNF} = 90^circ  - widehat {ANC} = 90^circ  - 30^circ  = 60^circ ) hay (widehat {MNT} = 60^circ )

Vậy ∆TMN đều.

b) (widehat {AMC} = widehat {ANC} = 30^circ )

( Rightarrow Delta AMN) cân tại A ( Rightarrow ) AM = AN nên A nằm trên đường trung trực MN ∆TMN đều

( Rightarrow ) TM = TN nên T nằm trên đường trung trực MN

Suy ra AT là đường trung trực của MN nên AT ⊥ MN

∆AHM có (widehat {AHM} = 90^circ )

(AM = {{AH} over {sin M}} = {{AH} over {sin 30^circ }} = {{AH} over {{1 over 2}}} = 2AH)              (1)

TH ⊥ MN nên TH là đường phân giác của (widehat T) nên (widehat {MTA} = 30^circ )

∆AMT có (widehat {AMT} = 90^circ )

(AT = {{AT} over {sin widehat {MTA}}} = {{AM} over {{1 over 2}}} = 2AM)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AT = 4AH

Câu III.2 trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó.    Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cắt tuyến MCD với đường tròn (O), trong đó điểm C ở giữa hai điểm M, D. Đường thẳng qua điểm C và vuông góc với OA cắt AB tại H. Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh HI song song với AD.

Giải

MA ⊥ OA (tính chất tiếp tuyến)

( Rightarrow widehat {MAO} = 90^circ )

MB ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến)

( Rightarrow widehat {MBO} = 90^circ )

IC = ID (gt)

( Rightarrow ) OI ⊥ CD (đường kính đi qua điểm chính giữa của dây)

( Rightarrow widehat {MIO} = 90^circ )

A, B, I nhìn MO cố định dưới một góc bằng 90º nên A, B, I nằm trên đường tròn bán kính MO.

( Rightarrow widehat {AMI} = widehat {ABI}) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AOI)

           CH ⊥ (overparen{AO}) (gt)

Suy ra: CH // MA

(widehat {AMI} = widehat {HCI}) (hai góc đồng vị)

Suy ra: (widehat {HCI} = widehat {ABI}) hay (widehat {HCI} = widehat {HBI})

B và C cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường HI tạo với HI một góc bằng nhau nên tứ giác BCHI nội tiếp.

( Rightarrow widehat {CBH} = widehat {CIH}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{CH})) hay (widehat {CBA} = widehat {CIH})                                                                                     (1)

Trong đường tròn (O) ta có:

(widehat {CBA} = widehat {CDA}) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{AC})     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (widehat {CIH} = widehat {CDA}) nên HI // AD (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

(Trường hợp cát tuyến đi qua tâm ngũ giác MAOIB suy biến thành tứ giác MAOB chứng minh tương tự ta có HO // AD).

Sachbaitap.com