Câu 76 trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai dòng dọc.

Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 4a, R’ = a. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A theo góc 60⁰. Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai dòng dọc.

Giải

Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A nên O, O’, A thẳng hàng.

(widehat {OAM} = widehat {OAP} = {1 over 2}widehat {MAP}) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

( Rightarrow widehat {OAM} = {30^0})

Trong tam giác vuông OMA có (widehat {OMA} = {90^0})

( Rightarrow MA = OM.cot widehat {OAM})

            ( = 4acos {30^0} = 4asqrt 3 )

Trong tam giác vuông O’NA có(widehat {O'NA} = {90^0})

( Rightarrow NA = O'Ncot widehat {O'AN} = acot {30^0} = asqrt 3 )

(MN = MA - NA = 4asqrt 3  - asqrt 3  = 3asqrt 3 )

Trong tứ giác O’NAQ có (widehat N = widehat Q = {90^0}); (widehat A = {60^0})

Suy ra: (widehat {NO'Q} = {120^0})

Độ dài cung nhỏ (overparen{NQ}) là: ({l_1} = {{pi .a.120} over {180}} = {{2pi a} over 3})

Trong tứ giác OMAP có (widehat M = widehat P = {90^0}); (widehat A = {60^0})

Suy ra: (widehat {MOP} = {120^0}) nên số đo cung nhỏ (overparen{MP}) bằng 120⁰

  sđ (overparen{MnP}) ( = {360^0} - {120^0} = {240^0})

Độ dài cung lớn (overparen{MnP}) là ({l_2}) ( = {{pi .4a.240} over {180}} = {{16pi a} over 3})

Chiều dài của dây cua – roa mắc qua hai ròng rọc là:

(2MN + {l_1} + {l_2} = 2.3asqrt 3  + {{2pi a} over 3} + {{16pi a} over 3}(

                        =(6asqrt 3  + 6pi a = 6aleft( {sqrt 3  + pi } ight))

Sachbaitap.com