Câu 9 trang 46 SGK Giải tích 12: Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình...

Bài 9.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số

 (f(x) = {1 over 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 over 2})

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị ((C)) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình (f’’(x) = 0)

c) Biện luận theo tham số (m) số nghiệm của phương trình: (x^4- 6x^2+ 3 = m)

Trả lời:

a) Xét hàm số y = (f(x) = {1 over 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 over 2})  ((C))

Tập xác định: (D =mathbb R)

* Sự biến thiên:

(y’ = 2x^3- 6x  = 2x(x^2– 3))

(y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±sqrt3)

– Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty;-sqrt3)) và ((0;sqrt3)), đồng biến trên khoảng ((-sqrt 3;0)) và ((sqrt3;+infty)).

– Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CĐ}={3over 2})

    Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm (x=-sqrt3) và (x=sqrt3); (y_{CT}=y_(pmsqrt3)=-3)

– Giới hạn:

   (mathop {lim y}limits_{x o  pm infty }  =  + infty )

– Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

b)

(y’’ = 6x^2– 6x)

(y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6x = 0 ⇔ x = ± 1)

(y’(-1) = 4, y’(1) = -4, y(± 1) = -1)

Tiếp tuyến của ((C)) tại điểm ((-1, -1)) là : (y = 4(x+1) – 1= 4x+3)

Tiếp tuyến của ((C)) tại điểm ((1, -1)) là: (y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3)

c) Ta có: ({x^4} – 6{x^2} + 3 = m Leftrightarrow {1 over 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 over 2} = {m over 2}) (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của ((C)) và đường thẳng (d) : (y = {m over 2})

Từ đồ thị ta thấy:

(m < -6): ( 1) vô nghiệm

(m = -6) : (1) có 2 nghiệm

(-6 < m < 3): (1) có 4 nghiệm

(m = 3): ( 1) có 3 nghiệm

(m > 3): (1) có 2 nghiệm