Câu 86 trang 53 SBT Toán 7 tập 2: Chứng minh....

Cho hình sau trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) ({S_{AGC}} = 2{{ m{S}}_{GMC}})

b) ({S_{Gmb}} = {S_{GMC}})

c) ({S_{AGB}} = {S_{AGC}} = {S_{BGC}})

Giải

a) G là trọng tâm của ∆ABC

( Rightarrow ) GA = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

∆AGC và ∆GMC có chung đường cao kẻ từ đỉnh C đến AM.

Cạnh đáy GA = 2GM

Chiều cao chung của hai tam giác

Suy ra: ({S_{AGC}} = 2{{ m{S}}_{GMC}})      (1)

b) ∆GMB và ∆GMC có cạnh đáy MB = MC, chung chiều cao kẻ từ đỉnh G đến cạnh BC

({S_{Gmb}} = {S_{GMC}})                                  (2)

c) Hai tam giác AGB và GMB có chung chiều cao kẻ từ đỉnh B đến cạnh AM.

AG = 2GM (chứng minh trên)

Suy ra:

(eqalign{
& {S_{AGB}} = 2{{ m{S}}_{GMB}}left( 3 ight) cr
& {S_{BGC}} = {S_{GMB}} + {S_{GMC}} = 2{S_{GMB}}left( 4 ight) cr} )

Từ (1), (2) và (3) suy ra: ({{ m{S}}_{AGC}} = {S_{AGB}} = {S_{BGC}})