Câu 65 trang 41 SBT Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng :...

Chứng minh rằng :

a. Giá trị của biểu thức ({left( {{{x + 1} over x}} ight)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} ight)} ight]) bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ -1

 b. Giá trị của biểu thức ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} ight)) bằng 1 khi (x e 0,x e  – 3,x e 3,x e  – {3 over 2})

Giải:

a. ({left( {{{x + 1} over x}} ight)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} ight)} ight])

Biểu thức ({left( {{{x + 1} over x}} ight)^2}) xác định khi (x e 0)

Biểu thức ({{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} ight)) xác định khi (x e 0) và (x + 1 e 0)

hay xác định khi (x e 0) và (x e  – 1)

Vậy với điều kiện (x e 0) và(x e 1)

Ta có : ({left( {{{x + 1} over x}} ight)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} ight)} ight])

(eqalign{  &  = {left( {{{x + 1} over x}} ight)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}.{{1 + x} over x}} ight]  cr  &  = {left( {{{x + 1} over x}} ight)^2}:left( {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over x}} ight) = {left( {{{x + 1} over x}} ight)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} over {{x^2}}}  cr  &  = {left( {{{x + 1} over x}} ight)^2}:{{{{left( {x + 1} ight)}^2}} over {{x^2}}} = {{{{left( {x + 1} ight)}^2}} over {{x^2}}}.{{{x^2}} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} = 1 cr} )

b. Biểu thức : ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} ight)) xác định khi (x – 3 e 0,2x + 3 e 0,{x^2} – 3x e 0) và ({x^2} – 9 e 0)

hay (x e 3;x e  – {3 over 2};x e 0;x e 3) và (x e  pm 3)

Vậy điều kiện (x e 0,x e 3,x e  – 3) và (x e  – {3 over 2})

Ta có: ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} ight))

(eqalign{  &  = {x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left[ {{{x + 3} over {xleft( {x – 3} ight)}} – {x over {left( {x + 3} ight)left( {x – 3} ight)}}} ight]  cr  &  = {x over {x – 3}} – {{xleft( {x + 3} ight)} over {2x + 3}}.{{{{left( {x + 3} ight)}^2} – {x^2}} over {xleft( {x + 3} ight)left( {x – 3} ight)}}  cr  &  = {x over {x – 3}} – {{{x^2} + 6x + 9 – {x^2}} over {left( {2x + 3} ight)left( {x – 3} ight)}} = {x over {x – 3}} – {{3left( {2x + 3} ight)} over {left( {2x + 3} ight)left( {2x – 3} ight)}}  cr  &  = {x over {x – 3}} – {3 over {x – 3}} = {{x – 3} over {x – 3}} = 1 cr} )