Câu 5 trang 45 Giải tích 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1...

Bài 5. Cho hàm số (y = 2x^2 + 2mx + m -1) có đồ thị là (C_m), (m) là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 1)

b) Xác định m để hàm số:

– Đồng biến trên khoảng ((-1, +∞))

– Có cực trị trên khoảng ((-1, +∞))

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi (m).

Trả lời:

(y = 2x^2 + 2mx + m -1) (C_m). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) (m = 1 ⇒ y = 2x^2+ 2x)

Tập xác định (D =mathbb R)

* Sự biến thiên:
(y’ = 4x + 2 = 0 Leftrightarrow x = {{ – 1} over 2} )

– Hàm số đồng biến trên khoảng (({-1over2};+infty)), nghịch biến trên khoảng ((-infty; {-1over2}))

– Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại (x={-1over2}); (y_{CT}={-3over 2})

– Giới hạn:

   (mathop {lim }limits_{x o pm infty } y = + infty )

Bảng biến thiên:

*Đồ  thị

Đồ thị hàm số giao trục (Ox) tại hai điểm ((-1;0)) và ((0;0))

b) Tổng quát (y = 2x^2+ 2mx + m -1) có tập xác định (D = mathbb R)

 (y’ = 4x + 2m = 0 Leftrightarrow x = {{ – m} over 2})

Suy ra (y’ >) 0 với (x > {{ – m} over 2};y’ < 0) với (x < {{ – m} over 2}) , tức là hàm số nghịch biến trên (( – infty ,{{ – m} over 2})) và đồng biến trên (({{ – m} over 2}, + infty ))

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng ((-1, +∞)) thì phải có điều kiện (( – 1,{ m{ }} + infty ) in ({{ – m} over 2}, + infty ))

  ( Leftrightarrow {{ – m} over 2} le  – 1 Leftrightarrow m ge 2)

ii) Hàm số đạt cực trị tại  (x = {{ – m} over 2}) .

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng ((-1, +∞)), ta phải có:

(eqalign{
& {{ – m} over 2} in ( – 1, + infty ) cr
& Leftrightarrow {{ – m} over 2} > – 1 Leftrightarrow 1 > {m over 2} Leftrightarrow m < 2 cr} )

c) (C_m) luôn cắt (Ox) tại hai điểm phân biệt (x = {{ – m} over 2})

(⇔) phương trình (2x^2+ 2mx + m – 1 = 0) có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

(Δ’ = m^2– 2m + 2 = (m-1)^2+ 1 > 0 ∀m)

Vậy (C_m) luôn cắt (O x) tại hai điểm phân biệt.