Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau

Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau

a) (y = xsin 2x,,,,,left( {y'} ight))                 

b) (y = {cos ^2}x,,,,,,left( {y'} ight))

c) (y = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1,,,,,,left( {{y^{left( n ight)}}} ight))

d) (y = {1 over {ax + b}})  (a,b là các hằng số, (a e 0,{y^{left( n ight)}}))

e) (y=sin x, ;{y^{left( n ight)}})) 

g) (y=cos x, ;{y^{left( n ight)}})) 

Giải

a) (4left( {cos 2x - xsin 2x} ight))                   b) (4sin 2x)

c) (y' = 4{x^3} - 9{x^2} + 2x;,y' = 12{x^2} - 18x + 2;)

(y' = 24x - 18,{y^{left( 4 ight)}} = 24,{y^{left( n ight)}} = 0,,,,left( {n ge 5} ight).)

d) ({{{{left( { - 1} ight)}^n}n!.{a^n}} over {{{left( {ax + b} ight)}^{ n+ 1}}}})

e) ta có

(eqalign{& y' = cos x = sin left( {x + {pi  over 2}} ight)  cr& y' = cos left( {x + {pi  over 2}} ight) = sin left( {x + {{2pi } over 2}} ight)  cr& y' = cos left( {x + {{2pi } over 2}} ight) = sin left( {x + {{3pi } over 2}} ight) cr} )

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được

            ({y^{left( n ight)}} = {left( {sin x} ight)^{left( n ight)}} = sin left( {x + {{npi } over 2}} ight))

g) Chứng minh tương tự câu e), ta được

               ({left( {cos x} ight)^{left( n ight)}} = cos left( {x + {{npi } over 2}} ight))

Sachbaitap.com