Câu 5.1, 5.2, 5.3 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình có nghiệm. ...
Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình có nghiệm.
Câu 5.1 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai (a{x^2} + bx + c = 0) có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng?
A) ({x_1} = {x_2} = {b over {2a}})
B) ({x_1} = {x_2} = - {{b'} over a})
C) ({x_1} = {x_2} = - {b over a})
D) ({x_1} = {x_2} = - {{b'} over {2a}})
Giải
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai (a{x^2} + bx + c = 0) có ∆’ = 0
Chọn B: ({x_1} = {x_2} = - {{b'} over a})
Câu 5.2 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình (left( {{b^2} + {c^2}} ight){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0) có nghiệm.
Giải
Phương trình (left( {{b^2} + {c^2}} ight){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0) có nghiệm khi và chỉ khi ({b^2} + {c^2} e 0) và (Delta ' ge 0)
({b^2} + {c^2} e 0) suy ra b và c không đồng thời bằng 0.
(eqalign{
& Delta ' = {left( { - ac}
ight)^2} - left( {{b^2} + {c^2}}
ight)left( {{a^2} - {b^2}}
ight) cr
& = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} cr
& = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} cr
& = {b^2}left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}}
ight) cr
& Delta ' ge 0 Rightarrow {b^2}left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}}
ight) ge 0 cr} ))
Vì ({b^2} ge 0 Rightarrow - {a^2} + {b^2} + {c^2} ge 0 Leftrightarrow {b^2} + {c^2} ge {a^2})
Vậy với ({a^2} le {b^2} + {c^2}) thì phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 5.3 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng phương trình (left( {x - a} ight)left( {x - b} ight) + left( {x - b} ight)left( {x - c} ight) + left( {x - c} ight)left( {x - a} ight) = 0) luôn có nghiệm.
Giải
(eqalign{
& left( {x - a}
ight)left( {x - b}
ight) + left( {x - b}
ight)left( {x - c}
ight) + left( {x - c}
ight)left( {x - a}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx + bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 cr
& Leftrightarrow 3{x^2} - 2left( {a + b + c}
ight)x + ab + bc + ac = 0 cr
& Delta ' = {left( {a + b + c}
ight)^2} - 3left( {ab + bc + ac}
ight) cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc - 3ab - 3ac - 3bc cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac cr
& = {1 over 2}left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc}
ight) cr
& = {1 over 2}left[ {left( {{a^2} - 2ab + {b^2}}
ight) + left( {{b^2} - 2bc + {c^2}}
ight) + left( {{a^2} - 2ac + {c^2}}
ight)}
ight] cr
& = {1 over 2}left[ {{{left( {a - b}
ight)}^2} + {{left( {b - c}
ight)}^2} + {{left( {a - c}
ight)}^2}}
ight] cr} )
Ta có: ({left( {a - b} ight)^2} ge 0;{left( {b - c} ight)^2} ge 0;{left( {a - c} ight)^2} ge 0)
Suy ra: ({left( {a - b} ight)^2} + {left( {b - c} ight)^2} + {left( {a - c} ight)^2} ge 0)
( Rightarrow Delta ' = {1 over 2}left[ {{{left( {a - b} ight)}^2} + {{left( {b - c} ight)}^2} + {{left( {a - c} ight)}^2}} ight] ge 0)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.
Sachbaitap.com
