Câu 45 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng:

a) (mpleft( {A{ m{D}}E} ight) ot mpleft( {ABC} ight)) và (mpleft( {BFK} ight) ot mpleft( {ABC} ight)).

b) (HK ot mpleft( {ABC} ight))

Trả lời

 

a) Vì (A{ m{D}} ot left( {DBC} ight)) nên (A{ m{D}} ot BC).

Mặt khác (A{ m{E}} ot BC). Vậy (BC ot left( {A{ m{D}}E} ight)), từ đó ta có (left( {ABC} ight) ot left( {A{ m{D}}E} ight)).

Vì K là trực tâm tam giác DBC nên (BK ot AC). Theo giả thiết (A{ m{D}} ot left( {DBC} ight)), vậy (BK ot AC) (định lí ba đường vuông góc). Kết hợp với (BF ot AC) ta có (AC ot left( {BFK} ight)), từ đó (mpleft( {ABC} ight) ot mpleft( {BFK} ight)).

b) Từ câu a), ta có

(eqalign{  & mpleft( {BFK} ight) ot mpleft( {ABC} ight)  cr  & mpleft( {A{ m{D}}E} ight) ot mpleft( {ABC} ight)  cr  & HK = mpleft( {A{ m{D}}E} ight) cap mpleft( {BFK} ight) cr} )

Vậy (HK ot mpleft( {ABC} ight)).

Sachbaitap.com