Câu 1 trang 113 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho (overrightarrow {MA}  =  - 2overrightarrow {MB} ,,overrightarrow {N{ m{D}}}  =  - 2overrightarrow {NC} ). Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho (overrightarrow {IA}  = koverrightarrow {I{ m{D}}} ,,overrightarrow {JM}  = koverrightarrow {JN} ,,overrightarrow {KB}  = koverrightarrow {KC} ). Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Trả lời:

 

Cách 1.

Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {IJ}  = overrightarrow {IA}  + overrightarrow {AM}  + overrightarrow {MJ} ,,,,,,,,,left( 1 ight)  cr  & overrightarrow {IJ}  = overrightarrow {ID}  + overrightarrow {DN}  + overrightarrow {NJ} ,,,,,,,,,,,left( 2 ight) cr} )

Từ (2) ta có:

(eqalign{  & koverrightarrow {IJ}  = koverrightarrow {ID}  + koverrightarrow {DN}  + koverrightarrow {NJ}   cr  & hay,,,koverrightarrow {IJ}= overrightarrow{IA} + koverrightarrow {DN}  + overrightarrow {MJ} ,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 3 ight) cr} )

Từ (1), (3) ta có:

(eqalign{  & left( {1 - k} ight)overrightarrow {IJ}  = overrightarrow {AM}  - koverrightarrow {DN}   cr  & hay,,overrightarrow {IJ}  = {1 over {1 - k}}overrightarrow {AM}  - {k over {1 - k}}overrightarrow {DN}  cr} )

Chứng minh tương tự như trên, ta có:

(overrightarrow {JK}  = {1 over {1 - k}}overrightarrow {MB}  - {k over {1 - k}}overrightarrow {NC} )

Mặt khác  (overrightarrow {MA}  =  - 2overrightarrow {MB} ,,,,overrightarrow {N{ m{D}}}  =  - 2overrightarrow {NC} )

nên (overrightarrow {IJ}  = {2 over {1 - k}}overrightarrow {MB}  - {{2k} over {1 - k}}overrightarrow {NC} ).

Từ đó, ta có (overrightarrow {IJ}  = 2overrightarrow {IK} )

Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Cách 2.

Vì (overrightarrow {MA}  =  - 2overrightarrow {MB} )

nên với điểm O bất kì thì (overrightarrow {OM}  = {{overrightarrow {OA}  + 2overrightarrow {OB} } over 3}).

Tương tự

(eqalign{  & overrightarrow {ON}  = {{overrightarrow {O{ m{D}}}  + 2overrightarrow {OC} } over 3};,,,overrightarrow {OI}  = {{overrightarrow {OA}  - koverrightarrow {O{ m{D}}} } over {1 - k}};  cr  & overrightarrow {OK}  = {{overrightarrow {OB}  - koverrightarrow {OC} } over {1 - k}};,,overrightarrow {OJ}  = {{overrightarrow {OM}  - koverrightarrow {ON} } over {1 - k}}. cr} )

Từ đó, ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {OJ}  = {1 over {1 - k}}.{1 over 3}left( {overrightarrow {OA}  + 2overrightarrow {OB}  - koverrightarrow {OD}  - 2koverrightarrow {OC} } ight)  cr  &  = {1 over {1 - k}}.{1 over 3}left[ {left( {1 - k} ight)overrightarrow {OI}  + 2left( {1 - k} ight)overrightarrow {OK} } ight]  cr  &  = {1 over 3}(overrightarrow {OI}  + 2overrightarrow {OK} ) = {1 over 3}overrightarrow {OI}  + {2 over 3}overrightarrow {OK} . cr} )

Mặt khác ({1 over 3} + {2 over 3} = 1).

Vậy 3 điểm I, J, K thẳng hàng.

Sachbaitap.com