Câu 39 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

b) Từ A kẻ (A{B_1} ot SB,A{{ m{D}}_1} ot S{ m{D}}). Chứng tỏ rằng (mpleft( {A{B_1}{D_1}} ight) ot SC).

Gọi C₁ là giao điểm của SC với mp(AB₁C₁). Chứng tỏ rằng tứ giác AB₁C₁D₁ có hai đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác đó.

Trả lời

 

a) Dễ dàng thấy SAB, SAD là các tam giác vuông tại A.

Mặt khác (SA ot left( {ABC{ m{D}}} ight),A{ m{D}} ot DC) nên (S{ m{D}} ot DC) (định lí ba đường vuông góc), do đó SDC là tam giác vuông tại D.

Tương tự , SBC là tam giác vuông tại B.

b) Dễ dàng chứng minh được

(eqalign{  & A{{ m{D}}_1} ot left( {SC{ m{D}}} ight)  cr  &  Rightarrow A{{ m{D}}_1} ot SC cr} )

Cũng như vậy, ta có (A{B_1} ot SC)

Vậy (SC ot left( {A{B_1}{D_1}} ight)).

Gọi (O = AC cap B{ m{D}},{O_1} = {B_1}{D_1} cap SO) thì ({C_1} = A{O_1} cap SC).

Mặt khác (Delta SAB = Delta SA{ m{D}}left( {c.g.c} ight)) nên B₁D₁ // BD.

Ta lại có

(eqalign{  & B{ m{D}} ot left( {SAC} ight)  cr  &  Rightarrow {B_1}{D_1} ot left( {SAC} ight) Rightarrow {B_1}{D_1} ot A{C_1} cr} )

Từ đó ({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1})

Ta có

(eqalign{  & A{C_1} = {{SA.AC} over {SC}} = {{asqrt 6 } over 3}  cr  & {{{B_1}{D_1}} over {B{ m{D}}}} = {{S{B_1}} over {SB}} = {{S{B_1}.SB} over {S{B^2}}} = {{S{A^2}} over {S{B^2}}} = {{{a^2}} over {2{{ m{a}}^2}}}  cr  &  Rightarrow {B_1}{D_1} = {{asqrt 2 } over 2} cr} )

(Chú ý: Có thể thấy B₁, D₁ thứ tự là trung điểm của SB là SD nên B₁D₁ // BD và ({B_1}{D_1} = {1 over 2}B{ m{D}}))

Vậy ({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 over 2}.{{asqrt 6 } over 3}.{{asqrt 2 } over 2} = {{{a^2}sqrt 3 } over 6}).

Sachbaitap.com