Câu 42 trang 13 SBT Toán 8 tập 2: Cho phương trình ẩn:...

Cho phương trình ẩn:

({{x + a} over {a – x}} + {{x – a} over {a + x}} = {{aleft( {3a + 1} ight)} over {{a^2} – {x^2}}})

a. Giải phương trình với a = -3

b. Giải phương trình với a = 1

c. Giải phương trình với a = 0

d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận (x = {1 over 2}) làm nghiệm.

Giải:

a. Khi a = -3, ta có phương trình:

({{x – 3} over { – 3 – x}} + {{x + 3} over { – 3 + x}} = {{ – 3left[ {3left( { – 3} ight) + 1} ight]} over {{{left( { – 3} ight)}^2} – {x^2}}})                       ĐKXĐ: (x e  pm 3)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{3 – x} over {x + 3}} + {{x + 3} over {x – 3}} = {{24} over {9 – {x^2}}}  cr  &  Leftrightarrow {{3 – x} over {x + 3}} – {{x + 3} over {x – 3}} =  – {{24} over {{x^2} – 9}}  cr  &  Leftrightarrow {{left( {3 – x} ight)left( {x – 3} ight)} over {{x^2} – 9}} – {{left( {x + 3} ight)left( {x + 3} ight)} over {{x^2} – 9}} =  – {{24} over {{x^2} – 9}}  cr  &  Leftrightarrow left( {3 – x} ight)left( {x – 3} ight) – {left( {x + 3} ight)^3} =  – 24  cr  &  Leftrightarrow 3x – 9 – {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 =  – 24  cr  &  Leftrightarrow 12x =  – 24 cr} )

( Leftrightarrow x =  – 2) (thỏa)

 Vậy phương trình có nghiệm x = -2

b. Khi a = 1, ta có phương trình:

({{x + 1} over {1 – x}} + {{x – 1} over {1 + x}} = {{1left( {3.1 + 1} ight)} over {{1^2} – {x^2}}})                       ĐKXĐ: (x e  pm 1)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{x + 1} over {1 – x}} + {{x – 1} over {1 + x}} = {4 over {1 – {x^2}}}  cr  &  Leftrightarrow {{{{left( {x + 1} ight)}^2}} over {1 – {x^2}}} + {{left( {x – 1} ight)left( {1 – x} ight)} over {1 – {x^2}}} = {4 over {1 – {x^2}}}  cr  &  Leftrightarrow {left( {x + 1} ight)^2} + left( {x – 1} ight)left( {1 – x} ight) = 4  cr  &  Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x – {x^2} – 1 + x = 4  cr  &  Leftrightarrow 4x = 4 cr} )

( Leftrightarrow x = 1) (loại)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

c. Khi a = 0, ta có phương trình: ({x over { – x}} + {x over x} = {0 over {{x^2}}})                      

ĐKXĐ: (x e 0)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{ – {x^2}} over {{x^2}}} + {{{x^2}} over {{x^2}}} = {0 over {{x^2}}}  cr  &  Leftrightarrow  – {x^2} + {x^2} = 0 Leftrightarrow 0x = 0 cr} )

Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của (x e 0)

 Vậy phương trình có nghiệm (x in R/x e 0)

d. Thay (x = {1 over 2}) vào phương trình, ta có:

({{{1 over 2} + a} over {a – {1 over 2}}} + {{{1 over 2} – a} over {a + {1 over 2}}} = {{aleft( {3a + 1} ight)} over {{a^2} – {{left( {{1 over 2}} ight)}^2}}})                        ĐKXĐ: (x e  pm {1 over 2})

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{{1 over 2} + a} over {a – {1 over 2}}} + {{{1 over 2} – a} over {a + {1 over 2}}} = {{aleft( {3a + 1} ight)} over {{a^2} – {1 over 4}}}  cr &  Leftrightarrow {{1 + 2a} over {2a – 1}} + {{1 – 2a} over {2a + 1}} = {{4aleft( {3a + 1} ight)} over {4{a^2} – 1}}  cr  &  Leftrightarrow {{left( {1 + 2a} ight)left( {2a + 1} ight)} over {4{a^2} – 1}} + {{left( {1 – 2a} ight)left( {2a – 1} ight)} over {4{a^2} – 1}} = {{4aleft( {3a + 1} ight)} over {4{a^2} – 1}}  cr  &  Leftrightarrow left( {1 + 2a} ight)left( {2a + 1} ight) + left( {1 – 2a} ight)left( {2a – 1} ight) = 4aleft( {3a + 1} ight)  cr  &  Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a – 1 – 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a  cr  &  Leftrightarrow 12{a^2} – 4a = 0  cr  &  Leftrightarrow 4aleft( {3a – 1} ight) = 0 cr} )

( Leftrightarrow 4a = 0) hoặc (3a – 1 = 0)  

( Leftrightarrow a = 0) (thỏa) hoặc (a = {1 over 3}) (thỏa)

Vậy khi a = 0 hoặc (a = {1 over 3}) thì phương trình ({{x + a} over {a – x}} + {{x – a} over {a + x}} = {{aleft( {3a + 1} ight)} over {{a^2} – {x^2}}}) nhận (x = {1 over 2}) làm nghiệm.