Câu 4.21 trang 207 sách bài tập – Giải tích 12: a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ...

a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi (z = ar z)

b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực: (z =  – {{3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}} + {{ – 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  – 3i}})

Hướng dẫn làm bài

a) Hiển nhiên (z in R) thì (z = ar z) . Ngược lại, giả sử z = a + bi và (z = ar z). Từ đó suy ra

a + bi = a – bi và do đó b = – b hay b = 0.

Vậy (z in R) 

b) Ta có  (z = {{ – 3 – 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}} + {{ – 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  – 3i}}),

suy ra (ar z = overline {({{ – 3 – 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}} + {{ – 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  – 3i}})}  = overline {({{ – 3 – 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}})}  + overline {({{ – 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  – 3i}})} )( = overline {{{ – 3 – 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}}}  + overline {{{ – 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  – 3i}}}  = {{ – 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  – 3i}} + {{ – 3 – 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}} = z)

Vậy (z in R).